東工大数学'09年前期[4]
xyz空間の原点と点
を通る直線を
とする。
(1) 
上の点
を通り
と垂直な平面が、xy平面と交わってできる直線の方程式を求めよ。 (2) 不等式
の表すxy平面内の領域をDとする。
を軸としてDを回転させて得られる回転体の体積を求めよ。
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解答 斜回転体の空間版ということでギョっとさせられますが、(1)が強力なヒントになっていて方針を立てやすくなっています。
(1) 現行課程の範囲外ですが、平面の方程式を知っていれば、法線ベクトルが
である平面の方程式は、 とおけて、平面が点
を通るとき、 
∴ 
よって、
に垂直で
を通る平面πの方程式は、 xy平面(
)と交わってできる直線は、
として、 と、簡単に求めることができます。
現行範囲で考えるのであれば、
に垂直で
を通る平面π上の点
について、 平面πは
と垂直なので、
，
は
と垂直。
，
を
とおくと、
(内積を参照)これを満たす1次独立なベクトルを2個作ります。例えば、
を選ぶ(他にも考えられます)と、 平面π：
･･･① ①とxy平面との交線をを求めるために、①において、
とすると、
このとき、 uを消去するために、両辺と
との内積を作ると、 
......[答]
(2) 回転体の体積は、回転軸(直線
)に垂直な平面πで回転体を切ったときにできる断面の面積
を回転軸に沿って積分することによって求めることができます。 まず、
より領域Dは
の範囲に存在していることに注意します。また、放物線
の
における接線の傾きは1であって放物線は上に凸なので、直線
を含みxy平面に垂直な平面を越えて回転体がはみだすことはありません。また、放物線の
における接線の傾きは
なので、
のときの平面πを越えて回転体がはみだすこともありません。
ここで、直線
と領域Dの境界線との交点を調べておきます。
直線
とx軸との交点は
直線
と
との交点は、 このとき、
より、
，
よって、直線
と領域Dが交わりをもつのは、
のときです。
平面πと領域Dとの交わりの部分は、直線
の
の部分の線分です。この線分を
のまわりに回転すると、線分上の点で、回転の中心
から最も遠い点は
，最も近い点は
なので、このときにできる図形の面積
は、
と
との距離
を半径とする円の面積から、
と
との距離を半径
とする円の面積を引いたものになります。∴ 
原点Oと点
との距離をs (回転軸
に沿って測った原点から平面πまでの距離)として、 回転体の体積Vは、
を
の範囲でsに関して積分したものになり、 sの積分を⑤によってtの積分に変えます(置換積分を参照)。
∴ 
......[答]
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，
，
のとき、
･･･⑤
とおくと、
，
，t：
のとき、u：
