東工大数学'10年後期[1]
a，b，tは実数で、
とする。次の漸化式により、数列
，
(
)を定める。
(1) 
をa，b，t，nを用いて表せ。 (2) 
とするとき、
が収束するためのa，b，tについての必要十分条件を求めよ。
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解答 (1)の連立漸化式は、2つの漸化式で係数が入れ替わっているだけ、という最頻出タイプのものです。このタイプでは、
，
が等比数列になります。
(2)の極限は一ひねり入っているので注意してください。なお、数列の極限を参照してください。
(1) 
，
とおくと、 
･･･①
･･･②①＋②より、
より、
･･･③①－②より、
より、
･･･④③＋④より、
......[答]
これ以外のtに対しては、
は発散します(等比数列の極限を参照)。
であれば
，
であれば
，
これ以外の場合は、
は発散します。
なので、
となるtは全実数です。 これを見ると、
と
の双方が、「ともに収束する」ことはない、と、わかります。ということは、 (i) 
の項が収束するときには
が収束しないので、
が収束するためには係数
はゼロであり、 (ii) 
が収束するときには
が収束しないので、
が収束するためには係数
はゼロ ということです。
ですが、
より
なので、(i)の場合は、あり得ません。(ii)より、
かつ 
のときに、
は収束します。
が収束せず、
も収束しないときであっても、
となるとき、 より、
ですが、 となり、このときにも、
であれば、
となり収束します。
これ以外に、
が収束する場合はありません。
以上より、
が収束するためのa，b，tについての必要十分条件は、
“
かつ 
” または “
かつ 
” ......[答]
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，
は、初項
，公比
の等比数列です。
のとき、
であれば
，
であれば
，
⇔ 
，
⇔ 
は、初項
，公比
の