東工大数学'10前期[1]

とする。
(1) において、は唯一の解を持つことを示せ。
(2) とする。(1)の唯一の解をaとするとき、Jの式で表せ。
(3) (2)で定義されたJの大小を比較せよ。

解答 見た目はやりにくそうですが、やって行くと典型パターンが見えてきます。

(1) 半角の公式2倍角の公式より、
また、より、,よって、
とすると、
 ・・・@
とおくと、
 (微分の公式を参照)
とすると、においては、より、
x0


0
0

増減表より(関数の増減を参照)において、方程式,即ち、は、(の範囲に)唯一の解をもちます。

(2) における解aは、,即ち、@より、
() ・・・A
を満たします。
においては、より
においては、より ・・・B
よって、
ここで、
 (:積分定数,部分積分法を参照)
より、
 (:積分定数)
よって、

( A)
......[
]

(3) の大小を比べればよいのですが、2で割って、の大小を比べることになります。Aよりなので、なのかなのかがわかれば、Jの大小を判断できます。
aは、方程式@の解なのですが、(1)の増減を利用すると、においてにおいてなので、であればであり、であればです。
ですが、では、が困ります。Bより、の正負との正負が逆になるので、を調べてみます。
( )
よって、より、(1)の増減表から
において
単調減少なので、
......[]


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