東工大数学'10前期[2]

aを正の整数とする。正の実数xについての方程式
()  
が解をもたないようなaを小さい順に並べたものを,・・・ とする。ここにはガウス記号で、実数uに対し、u以下の最大の整数を表す。
(1) の各々について()の解があるかどうかを判定し、ある場合は解xを求めよ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。

解答 [1]と同様に見た目は手強そうですが、誘導通りに解答すれば落とせない問題だということがわかります。
(3)では、出題者は、の形を断定する際の論述を見ようとしていると思われます。

ガウス記号の基本は、
xを実数,mを整数として、
です。本問もこれで解決します。問題文では「正の実数x」と書かれていますが、xとガウス記号を等置しているので、xは正の整数です。
各辺にをかけて、
各辺からを引き、
 ・・・@
ここで、x1から順に整数を入れていけば、問題の枠組みが見えてきます。本問では、aの方に整数値を入れる誘導がついています。

(1) @において、
(i) とすると、
左側の不等号を満たす正の整数xは、のみです。このうちだけが右側の不等号を満たします。よって、()の解が存在し、解は ......[]
(ii) とすると、
左側の不等号を満たす正の整数xは、のみで、両方とも右側の不等号を満たしません。よって、()の解は存在しません。 ......[]
(iii) とすると、
左側の不等号を満たす正の整数xは、のみで、このうちだけが右側の不等号を満たします。よって、()の解が存在し、解は ......[]

(2) のとき()が解をもたないという(1)の結果から即としてしまうのは早計です。(1)では、が解になっている場合を調べていますが、xは「正の整数」なので、が解になる場合があるかも知れません。
が解になるとき、@でとして、aは、
これより、のときに、()の解になります。
同様に、が解になるとき、@でとして、
aは、
これより、のときに、()の解になります。
これで、が残りますが、このとき@は、
左側の不等号を満たすxは、のみですが、これは右側の不等号を満たさず、のときには、()の解は存在しません。
が解になるとき、@でとして、
aは、
が解になるとき、@でとして、aは、
これより、のときに、()を満たす正整数xは存在せず、()は解を持ちません。
従って、
(1)の結果も入れて、()が解を持たないようなaを小さい順に並べると、
,・・・・・・  ・・・A
となります。
......[]

(3) (2)でAのようになるのは、@で としたときに得られる不等式、
,・・・
のいずれかを満たす正整数aの集合
から、が漏れるからです。漏れる正整数が各不等式の右辺に出てくる整数値になっていることに注意すると、@の右辺x1から順に入れて得られる整数値をaがとるとき、つまり、nを正整数として、のときに、()の解が存在しないことが、予測できます。
として、のとき@は、
 ・・・B
より、Bの左側の不等号を満たす正の整数xは、ですが、この全てがBの右側の不等号を満たしません。よって、のとき、()の解は存在しません。
また、が解になるとき、@でとして、
より、aは、
 ・・・C
となりますが、aがCのいずれかであれば、のとき、
が成り立つので、は@を満たし、()は解をもちます。
として、の間には、正整数はしかないので、正整数
a ()となるときには、()は解をもちます。
以上より、
 ()
です。

 (数列の求和技法を参照)
......[]


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