東工大数学'10前期[4]

aを正の定数とする。原点をOとする座標平面上に定点と、Aと異なる動点をとる。次の条件
AからPに向けた半直線上の点Qに対し
ならば
を満たすPからなる領域をDとする。Dを図示せよ。

解答 以下では、問題文中でPが満たすべき条件として出てくる命題を命題Cと呼ぶことにします。この“命題C ならば ”の意味するところがわかりにくいだけでなく、論理的に入り組んでいる上に、分母=0の考慮も必要で、難路を紆余曲折させられます。
まずは、簡単な場合から題意をつかむようにしましょう。
いきなり座標平面上で考えるのでは難しいので、
x軸上にをとって調べてみます。,また、PAと異なるのでであり、Qは、AからPに向けた半直線上の点なので、0になることを含めてと同符号です。
命題
Cは、
ならば  ・・・@
となりますが、これでも、わかりにくいので、数値を入れてみます。
@でとしてみると、なのでであって、

ならば
即ち、
ならば
となりますが、のときに、の分母が0になってしまうので、は命題Cを満たさず、のときは領域D内の点ではありません。
より、@でとすることはできません。
@でとしてみると、なのでであって、

ならば
即ち、
ならば
より、結局、
ならば
となりますが、これは成立しません。よって、のときも領域D内の点ではありません。
@でとしてみると、なのでであって、

ならば
即ち、
ならば
より、
ならば
となりますが、これは成立するので、は命題Cを満たし、のときは領域D内の点です。
試験場でも、
axにいろいろな値を入れて、命題Cが成立する場合、成立しない場合を試してみることになるでしょう。
ここで、数値代入してやってみたことを整理します。命題
Cの十分条件:から得られるQの座標に関する不等式の範囲を,必要条件:から得られるQの座標に関する不等式の範囲をとして、特定のについて、に含まれていれば命題Cが成立するので「は領域D内の点だ」と判断し、に含まれていなければ命題Cが成立しないので「は領域D内の点ではない」と判断しています。
であれば、一般的なについて、十分条件から得られる範囲が、必要条件から得られる範囲に含まれるようなを調べれば、「命題
Cが成立する」という条件を満たすPからなる領域Dを求められるはずです。

ここでは、必要条件、十分条件の範囲を考えやすくするために、

とおくことにします。ここに、PAと異なるのでQは半直線AP上の点なのでです。また、半直線APx軸正方向となす角をq ()とします。
Pの座標はQの座標はとなります。
さらに、命題
Cの必要条件の分母にOQが出てくるので、QOと一致しません。
QOと一致するとき、Qの座標について、
なので、,つまり、
また、より

kは任意の正数値をとり得てしまうので、Pの位置によってとなる可能性を排除することはできないので、
Pが存在する領域Dは、
となる範囲を含んでいてはならない ・・・()
ということに注意します。

さて、命題
Cの十分条件:より、
 ・・・A
となります。命題Cの必要条件から得られる範囲は、Aを含まなければなりません。

命題
Cの必要条件:より、を用いて、
 ・・・B
ここで、

Bの両辺は、負になることはなく、rで割って、両辺を2乗すると、
整理すると、
 ・・・C
(i) のとき、点PAを中心とする半径aの円周上の点ですが、Cより、
より、
()を考慮すると、においてであればなので、
 ・・・D
()より、のとき、Pに来るので、領域Dからは除かれます。
よって、このとき、を除いて、“A
ならば D”は成立し、命題Cが成立します。
(ii) のとき、点PAを中心とする半径aの円周より内側の点ですが、Cより、
より、なので、
 ・・・E
このとき、“A ならば E” (Eの範囲がAの範囲を含む)が成立するために、
でなければなりません。分母を払って整理すると、

ここで、より、
 ・・・F
また、
(PAと異なる点)に注意すると、 かつ ”よりは除かれます。
()を検討します。のとき、Pは、x軸上のの部分を動きます。この部分は領域Dから除かれるべきですが、そもそもFに含まれていません。
よって、このときは、を除く領域F内に存在する
Pについて、“A ならば E”が成立し、命題Cが成立します。
(iii) のとき、点PAを中心とする半径aの円周より外側の点ですが、Cより、
 ・・・G
Px座標について、
(a) のとき、Gの中カッコ内は正で、不等式Gを満たすkは、
 ・・・D
このとき、“A
ならば D”が成立します。
(b) のとき、より、不等式Gを満たすkは、
 ・・・H
Aを満たす
kのうち、となるkはHを満たさず、“A ならば H”は成立しません。
(a)(b)より、です。
()を検討します。のとき、Pは、x軸上のの部分を動きますが、この部分はそもそもかつの部分には含まれていません。
よって、このときは、において、“A
ならば D”が成立し、命題Cが成立します。

(i)(ii)(iii)をまとめると、命題Cが成立するのは、
を除く,または、
かつ (よりを除く),または、
かつ
のときで、Aを中心とする半径aの円周を表すことに注意して、整理すると、領域Dは、
かつ であってを除く部分
であって、図示すると右図黄緑色着色部(境界線を含み白マルを除く)


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