東工大数学'11前期[2]

実数xに対して
とおく。
(1) 関数の最小値を求めよ。
(2) 定積分を求めよ。

解答 面倒な微積分の問題に見えますが、場合分けするだけなので、この問題は落とせません。

(1) 絶対値を含む定積分では、絶対値記号の内側の正負で積分区間を分ける必要があります。
とおきます。
積分区間においてです。
(i) のとき、
よって、
(ii) のとき、
よって、
(iii) のとき、
(a) であれば、
(b) であれば、
以上より、の場合と、の場合に分けて積分計算を実行します。
の場合、つまり、(i)(ii)の場合、
 (絶対値を含む積分を参照)
 (不定積分の公式を参照)
より、 ・・・@
の場合、つまり、(iii)の場合、
を満たすtαとして、(iii)(a)では(iii)(b)ではより、







x


0

増減表より(関数の増減を参照)においては、 ・・・A
@,Aより、の最小値は ......[]
別解.の場合については、相加平均相乗平均の関係を用いて、
(不等号の等号成立は、,つまり、のとき)
とすることもできます。

(2) (1)より、のときのとき


......[]


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