三角関数の応用

(1) 2倍角の公式の応用
1を解く。
[解答] という項があるので、で統一して表します。
を代入すると、




n
を整数として、 ......[]

2 ()の最大値と最小値
[解答] があるので、で統一して表します。
を代入すると、

 
 
より、は、,つまり、のときに、最大値:
,つまり、のときに、最小値:
最大値: (のとき),最小値: (のとき) ......[]

(2)
3倍角の公式の応用
3の値を求める。
[解答] とすると、より、
2倍角の公式3倍角の公式より、
より、

より、
......[]

4 ()の最大値と最小値
[解答] 3倍角の公式2倍角の公式より、

 
とおくと、のとき、
とおきます。

t1
0
のとき、
のとき、
のとき、
増減表より、最大値: (のとき),最小値: (のとき) ......[]

(3)
和積の公式の応用
5 ()を解く。
[解答] 和積の公式より、

 
または
より、
より、
......[]

6 ()を解く。
[解答] 和積の公式より、
または
より、
より、
......[]
注.より直ちにとしてしまうと、以外の解が得られなくなってしまいます。

(4) 積和の公式の応用
7 (n:自然数)
[
解答] 
 
 
......[]

 
 
......[]

8 (mnは自然数)
[
解答] 積和の公式より、
よって、
ここで、のときには、
のときには、
 
以上より、

(5)
合成の応用
9 ()の最大値と最小値
[解答] 2倍角の公式を用いて、

 
 
 
とおくと、より、 (三角関数の合成を参照)
において、

より、は、,つまり、のときに、最小値:をとります。
,つまり、のときに、最大値:をとります。
よって、最大値: (
のとき),最小値: (のとき) ......[]

(6)
図形的解法
10の最大値と最小値
[解答] とおくと、は単位円上の点です。
とおくと、は、定点を通る直線になっています。
単位円と直線が共有点をもつのは、円の中心と直線との距離:
が、円の半径1以下であることです。

分母を払って2乗すると、


よって、の最大値:,最小値: ......[]


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