三角関数

右図の、原点Oを中心とする半径rの円周上の点Pに対して、角q x軸から反時計回りに線分OPまで回転した角とする(時計回りに回るときには負の値とする)


ここで、q は、全実数をとりうるものとして、角q 一般角三角比を考えます。n周すると円周上の同じところに戻ってくるので、 ()として、

とします。
従って、
 (nは整数)

が成り立ちます。

こうして、
を、全ての実数で定義された関数として考えることができます。
()
()が定義できないので、nを整数として、においては、は定義できませんが、を、において定義される関数と考えることができます。
を総称して三角関数と言います。

三角関数の値については
(三角比の拡張を参照)





などとなっています。

右図の図1で、座標の点をAとします。単位円(原点を中心とする半径1の円)の円周上の点Pの座標は、とするとき、となります。また、直線OPと直線: (Ax軸と直交する直線)との交点をQとすると、Qy座標です。
注.つまり、
は直線OPの傾きです。一般に、直線:x軸正方向との間の角をqとして、です。
円周上の点の
x座標,y座標の正負を考えることにより、の符号は、第1象限、第2象限、第3象限、第4象限で右図の図2,図3,図4のようになります。

また、
は円周上の点Px座標,y座標なので、最大値は1,最小値はです。
から1までの全ての実数をとります。

は、q 0からまで変化すると、どんどん大きな値になって行きます。
q 0からまで変化すると、どんどん小さな値(負の値で、絶対値はどんどん大きくなる)になって行きます。
はすべての実数の値をとります。

円は
x軸に関して対称なので、単位円の円周に沿って、点から角q 回った位置のx座標と、角回った位置のx座標は同じです。よって、

これは、という関数が偶関数(グラフがy軸に関して対称)であることを意味しています。

また、単位円の円周に沿って、点
から角q 回った位置のy座標と、角回った位置のy座標は、絶対値が等しく符号が逆です。よって、

これは、という関数が奇関数(グラフが原点に関して対称)であることを意味しています。


より、という関数は奇関数です。

これらより、
などとなります。

円は
y軸に関して対称なので、単位円の円周に沿って、点から角q 回った位置のx座標と、点から角回った位置、つまり点から回った位置のx座標は、絶対値が等しく符号が逆です。よって、

また、単位円の円周に沿って、点から角q 回った位置のy座標と、点から角回った位置のy座標は同じです。よって、



右図のように、単位円の円周に沿って、点から角q 回った点と、角回った点の座標を比べると、という関係があります。
より、



右図のように、単位円の円周に沿って、点から角q 回った点と、角回った点の座標を比べると、という関係があります。
より、



三角比の拡張で取り上げた公式も含め、以上をまとめると、








類似の公式がいくつも作れますが、混乱の元になるので、覚えるのは上記のものだけにすること。


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