三角関数のグラフ

 この項目の内容については、三角関数も参照してください。
実数
xに対して、関数の値は、xを一般角として、単位円(原点を中心とする半径1の円)の円周上をx軸から反時計回りにxだけ回った点のy座標です。
従って、
のグラフを書くためには、下図のように、単位円の1つの直径の延長上にx軸を引いておき、円周上でxだけ回った点を通りx軸に平行な直線を伸ばして、この直線上でx座標がxのところに点をとり、こうして得られる点を結んでいきます。
のグラフは波動の状況をあらすグラフになっています。

には、nを整数として、という性質があるので、のグラフは、x座標が進むごとに同じ形になります。
このように、
xがある決まった値pだけ変化するたびにy座標が等しくなるような関数を周期関数と言い、p周期と言います。
が周期pの周期関数であるとき、が成り立ちます。
だとすると、よりは周期の周期関数なので、となります。

のグラフは、右図のように、のグラフ上の各点において、y座標の値をにした点をつなぐことにより得られます。
のグラフとのグラフを比較すると、波動の振れがになっています。
として、のグラフは、の波動の振れをk倍にしたグラフになります。このkの値を振幅と言います。
関数
の振幅は1,関数の振幅はです。
のグラフは、右図のように、のグラフをx軸正方向にだけ平行移動したものになります(平行移動については、2次関数でも考えました。2次関数を参照)
のグラフは、のグラフをx軸正方向にq だけ平行移動させたグラフです。
のグラフは、のグラフをx軸負方向にq だけ平行移動させたグラフです。
のグラフは、のグラフと比較すると、右図のように左右に2倍に押し縮められたようなグラフになります。周期はpになります。
として、のグラフの周期は、となります。
なぜなら、
より、,つまり、として、が成り立つからです。
>の間には、という関係があるので、のグラフは、のグラフと同じグラフであり、のグラフをx軸負方向にだけ平行移動させたものになります。
と同様に周期の周期関数です。
は、 ()である直角三角形OABにおいて、(xは弧度法で測った角)として、なので、OAの長さを1としておけば、ABの長さがの値になります()
従って、
のグラフを書くためには以下のようにします。
下図のように、単位円の
1つの直径の延長上にx軸を引いておき、この直径のx軸側の端点をAとして、点Aにおける円の接線を引きます。単位円の円周上をこの直径からxだけ回った点と円の中心を直線で結びます。この直線と先の接線との交点を通ってx軸に平行な直線を引きます。この平行線上でx座標がxとなるところに点をとり、こうして得られる点を結んでいけば、 (nは整数)に対して、のグラフを書くことができます。

のグラフは、x座標がp進むごとに同じ形が繰り返されていきます。
については、という性質があるので、は周期pの周期関数です。
また、
の値は、nを整数として、のときには定義できません。のグラフは、xに近づくと、x軸から急速に離れていき、x軸に垂直な直線に近づいていきます。従って、のグラフの漸近線になっています。

という性質により、点と点は原点に関して対称です。従って、のグラフは、下図のように、原点に関して対称になります。よって、は奇関数です。
という性質により、点と点y軸に関して対称です。従って、のグラフは、下図のようにy軸に関して対称になります。よって、は偶関数です。
という性質により、点と点は原点に関して対称です。従って、のグラフは、下図のように、原点に関して対称になります。よって、は奇関数です。



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