三角関数の積分

この項目は、不定積分の公式置換積分定積分の漸化式を参照してください。
三角関数のべき乗の積分の方法を整理しておきます。
不定積分で、例示しますが、定積分でも変わりはありません。

1. 
半角の公式を使います。
 (C:積分定数)
 (C:積分定数)

2. 
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます(置換積分を参照)より、

 
  (C:積分定数)
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます。

 
  (C:積分定数)
注.3倍角の公式の利用も考えられます。
より、
 (C:積分定数)
より、
 (C:積分定数)

3. 
半角の公式2回使います。

 より、

  (C:積分定数)

 より、

  (C:積分定数)

4. 
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます(置換積分を参照)より、

 
 
  (C:積分定数)
被積分関数の中に、奇数個の積があるときには、とおきます。

 
 
  (C:積分定数)

5.  ()
この形の積分が登場するのは、アステロイドの面積や体積を計算する場合なので、として、漸化式を利用するのがよいでしょう。なるべく、漸化式を暗記するのではなく、試験会場で漸化式を導く過程も答案に記して利用したいものです。
,・・・
,・・・
なお、
とおくと、xのとき、tより、

です。

6. 
一番簡単なのは2倍角の公式を使う方法です。より、

  (C:積分定数)
この方法は、わかりづらいので、あまりおすすめではありません。下記のようにするのがよいでしょう。

 
 
 
  (C:積分定数)
注.です。
とおくと(置換積分を参照)
より、
 (C:積分定数)
とすることもできます。
も、とすれば、上記と全く同じ考え方で、積分できます(とすればよい)

7.  (公式です! C:積分定数)

  (C:積分定数)


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