3項間漸化式

数列の隣接3項:に関する関係式を3項間漸化式と言います。
基本形:
・・・@,

まず、等比数列漸化式の形を作ることを考えます。
数列
が、公比:b 等比数列だとすると、
・・・A
展開して整理すると、
@と比べると、
これより、ab 2次方程式: ・・・B 2解です。
2次方程式Bを3項間漸化式@の特性方程式と言います。与えられた3項間漸化式@の各項の係数を用いて作った2次方程式です。

特性方程式Bの解
ab を求めて、Aの形を作ります。
1) Bが相異なる2実数解をもつ場合()には、
数列
は、初項:,公比:b 等比数列ゆえ、
・・・C

このとき、@を、

と書き直すこともできます。
これより、数列
は、初項:,公比:a等比数列となるので、
・・・D

C−Dより、

[
注意] 結果を暗記しても何の意味もありません。手順を覚えること。

2) Bが重解aをもつ場合()には、Aは、

となり、数列は、初項:,公比:a等比数列となり、

両辺をで割ると、

数列は、初項:,公差:等差数列ゆえ、


この場合には、等比数列を2通り作ることができないので、1)の手順では一般項が求められません。


   数学基礎事項TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらる雑誌「大学への数学」購入Newton e-Learning
inserted by FC2 system