東京大学理系2003年前期数学入試問題

[1] abcを実数とし、とする。2次関数が次の条件(A)(B)を満たすとする。
(A)
(B) を満たすすべてのxに対し、
このとき、積分のとりうる値の範囲を求めよ。
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[2] Oを原点とする複素数平面上で6を表す点をAを表す点をBとする。ただし、iは虚数単位である。正の実数tに対し、を表す点Pをとる。
(1) を求めよ。
(2) 線分OPの長さが最大になるtを求めよ。
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[3] xyz空間において、平面上の原点を中心とする半径2の円を底面とし、点を頂点とする円錐をAとする。
次に、平面
上の点を中心とする半径1の円をH,平面上の点を中心とする半径1の円をKとする。HK2つの底面とする円柱をBとする。円錐Aと円柱Bの共通部分をCとする。を満たす実数tに対し、平面によるCの切り口の面積をとおく。
(1) とする。のとき、q で表せ。
(2) Cの体積を求めよ。
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[4] 2次方程式2つの実数解のうち大きいものをa,小さいものをb とする。
に対し、とおく。
(1) を求めよ。また、に対し、で表せ。
(2) 以下の最大の整数を求めよ。
(3) 以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。
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[5] さいころをn回振り、第1回目から第n回目までに出たさいころの目の数n個の積をとする。
(1) 5で割り切れる確率を求めよ。
(2) 4で割り切れる確率を求めよ。
(3)20で割り切れる確率をとおく。を求めよ。
注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。
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[6] 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。
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