東京大学理系2004年前期数学入試問題

[1] xy平面の放物線上の3PQRが次の条件を満たしている。
は一辺の長さaの正三角形であり、点PQを通る直線の傾きはである。
このとき、aの値を求めよ。
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[2] 自然数の2乗になる数を平方数という。以下の問いに答えよ。
(1) 10進法で表して3桁以上の平方数に対し、10の位の数をa1の位の数をbとおいたとき、が偶数となるならば、b0または4であることを示せ。
(2) 10進法で表して5桁以上の平方数に対し、1000の位の数、100の位の数、10の位の数、および1の位の数の4つすべてが同じ数となるならば、その平方数は10000で割り切れることを示せ。
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[3] 半径10の円Cがある。半径3の円板Dを、円Cに内接させながら、円Cの円周に沿って滑ることなく転がす。円板Dの周上の一点をPとする。点Pが、円Cの円周に接してから再び円Cの円周に接するまでに描く曲線は、円C2つの部分に分ける。それぞれの面積を求めよ。
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[4] 関数 ()を次のように定める。


以下同様に、に対して関数が定まったならば、関数
で定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) aを実数とする。を満たす実数xの個数を求めよ。
(2) aを実数とする。を満たす実数xの個数を求めよ。
(3) n3以上の自然数とする。を満たす実数xの個数はであることを示せ。
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[5] rを正の実数とする。xyz空間内の原点Oを中心とする半径1の球をA,点Pを中心とする半径1の球をBとする。球Aと球Bの和集合の体積をVとする。ただし、球Aと球Bの和集合とは、球Aまたは球Bの少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである。
(1) Vrの関数として表し、そのグラフの概形を描け。
(2) となるとき、rの値はいくらか。四捨五入して小数第一位まで求めよ。
注意:円周率?は、をみたす。
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[6] 片面を白色に、もう片面を黒色に塗った正方形の板が3枚ある。この3枚の板を机の上に横に並べ、次の操作を繰り返し行う。
さいころを振り、出た目が12であれば左端の板を裏返し、34であればまん中の板を裏返し、56であれば右端の板を裏返す。
たとえば、最初、板の表の色の並び方が「白白白」であったとし、1回目の操作で出たさいころの目が1であれば、色の並び方は「黒白白」となる。さらに2回目の操作を行って出たさいころの目が5であれば、色の並び方は「黒白黒」となる。
(1) 「白白白」から始めて、3回の操作の結果、色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ。
(2) 「白白白」から始めて、n回の操作の結果、色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ。
注意:さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。
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