に対し
の第n次導関数は、数列
，
を用いて
に対し
とする。に対しの第n次導関数は、数列，を用いて
，
に関する漸化式を求めよ。
とおく。
を用いて
，
の一般項を求めよ。
，
，
，
，
のとき、
より、
，
として、①は成り立ちます。
のとき成り立つとすると、
と書けます。
，
･･･② とすれば、
と書けます。
のときも、①は成り立ちます。
，
･･･② とすれば"というのを、なぜ、こんな風におけるのか証明しなくてよいのか、と、疑問に思う人がいるのですが、これは、
と
の値がわかっているときに、②式によって、
と
の値を決めてください、これで、
，
から出発して数列の各項の値を全て求めることができます、という意味です。
を微分して
を求めてみたところ、確かめられていて証明する必要のないことがらとして、②が出てきているのです。
，
に関する漸化式は、②のkをnに書き換えて、
，
･･･③，
･･･④ ......[答]
については、④を見ていれば、
，
，
，･･････ とやっていけば、奇数番めで負、偶数番めで正なので、
とわかります。
･･･⑤
，
，･･････ と求めて行くと、感じがつかめます。うまく行けば、一般項の形が予測できて、あとは、数学的帰納法で証明すればよいのです。
，
，
ということが既にわかっているのですが、⑤を使って、どういうカラクリになっているかを調べてみます。
を代入してみると、
を代入してみるのですが、
としてしまわないで、
を代入します。
とやってしまうとカラクリに気づかないんですね。とにかく、結果を出そう、答を出そう、という風に思ってしまうと、大事なポイントが見えてこないんです。
を代入してみると、
という数列を導入する、というヒントを使うことを考えます。
の第1項に4がなく、第2項に3がなく、第3項に2がなく、第4項には1，2，3，4がすべて揃っているというところから、
で割ったらどうか、と、考えます。東大前期では、難解な問題でも、この程度のアイデアを出せば、8割がた、解決できます。
･･･⑥
のとき、
となり、⑥は成り立ちます。
のとき、⑥が成り立つとして、
のときも⑥が成り立ちます。
，
の一般項は、
，
......[答]| (Ｃ)2005, 2006，2007, 2008 (有)りるらる | 雑誌「大学への数学」購入 | Newton e-Learning |