東大文系数学'05[3]

0以上の実数st
をみたしながら動くとき、方程式
の解のとる値の範囲を求めよ。

解答 やや手強い、対称式と2次方程式の問題です。

 ・・・@
@の左辺をとおきます。

とおく(2次方程式の解と係数の関係を参照)と、st2次方程式:
2解で、2解とも0以上の解なので、
として、
判別式:
の軸:

よって、 かつ  ・・・A
また、より、

 ・・・B
Aに代入すると、

より、 ・・・C

Bを用いて、

と表せるので、@は、
となります。について解いても、きれいな形にはならないので、u2次方程式:
 ()
とみて、がCの範囲に実数解をもつ条件を考えます(2次方程式の解の配置を参照)
・Cの範囲に1解を有する、または、と他に1解、または、と他に1解をもつ場合、より、

または または
より
従って、は、に含まれます。
の軸の位置: ()は、Cの範囲に入らないので、2解ともCの範囲に入る、ということはありません。
以上より、の解のとり得る値の範囲は、 ......[]


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