東京大学理系2006年前期数学入試問題

[1] Oを原点とする座標平面上の4で、条件
 ()
を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) が曲線上にあるとき、はこの曲線上にはないことを示せ。
(2) が円周上にあるとき、もこの円周上にあることを示せ。
[解答へ]


[2] コンピュータの画面に、記号○と×のいずれかを表示させる操作をくり返し行う。このとき、各操作で、直前の記号と同じ記号を続けて表示する確率は、それまでの経過に関係なく、pであるとする。
 最初に、コンピュータの画面に記号×が表示された。操作をくり返し行い、記号×が最初のものも含めて
3個出るよりも前に、記号○がn個出る確率をとする。ただし、記号○がn個出た段階で操作は終了する。
(1) pで表せ。
(2) のとき、pnで表せ。
[解答へ]


[3] Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点Pと、直線mが与えられている。ここで、とする。
いま、傾きが
aの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。
(1) このとき、apで表せ。
(2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。
条件:どのようなq ()に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線はとなる。
[解答へ]


[4] 次の条件を満たす組を考える。
条件(A)xyzは正の整数でおよびを満たす。
以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組となるものをすべて求めよ。
(2) が条件(A)を満たすとする。このとき、組が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。
(3) 条件(A)を満たす組は、無数に存在することを示せ。
[解答へ]


[5] とし、数列を漸化式
  ()
によって定める。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) に対し、とおく。
のとき、となることを示せ。
(2) を求めよ。
(3) を求めよ。
[解答へ]


[6] を定義域とする関数について、以下の問いに答えよ。
(1) 関数 ()は、実数全体を定義域とする逆関数を持つことを示せ。すなわち、任意の実数aに対して、となるがただ1つ存在することを示せ。
(2) 前問(1)で定められた逆関数を ()とする。このとき、定積分を求めよ。
[解答へ]



   東大理系数学TOP   数学TOP   CHALLENGE from the VOID   TOPページに戻る

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらる雑誌「大学への数学」購入Newton e-Learning
inserted by FC2 system