東大理系数学'06年前期[1]

Oを原点とする座標平面上の4で、条件
 ()
を満たすものを考える。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) が曲線上にあるとき、はこの曲線上にはないことを示せ。
(2) が円周上にあるとき、もこの円周上にあることを示せ。

解答 余計なことを考えずに素直に取り組めば大したことはありません。

(1) 背理法により示します。
が曲線上にあるとき、もこの曲線上にあると仮定します。
x座標をpqとすると、それぞれのy座標はです。
与式でとして、
より、 ・・・@

の場合、ですが、を満たさず、は曲線上の点ではありません。・・・A

の場合、がともに第1象限の点で、だとします。@より、も第1象限の点です。
として、平行四辺形の対角線ONは互いに相手を二等分し、線分ONの中点Mは線分上の点です。
ところで、より、は線分MN上のM以外の点です。
曲線は第1象限において下に凸な曲線なので、曲線と線分ONとの交点Qは線分の下側に来ます。よって、Qは線分OM上のM以外の点です。
は線分MN上のM以外の点で,Qは線分OM上のM以外の点なので、両者が一致することはありません。これは、が曲線上の点ではないことを意味しています。・・・B
がともに第3象限の点である場合には、原点に関して対象な位置にを移して考えれば、Bにより、は曲線上の点ではありません。・・・C
が一方が第1象限で他方が第3象限にあって、pqが異符号だとします。@より、x座標とy座標は、により、異符号であって、曲線は第1象限と第3象限にしか存在しないので、は曲線上の点ではありません。・・・D
A,B,C,Dより、全ての場合において、は曲線上の点ではありません。
これは、が曲線上の点であるという前提条件と矛盾します。
よって、が曲線上にあるとした仮定は誤りであって、はこの曲線上の点ではありません。

(2) が円周上にあるので、
より、




よって、もこの円周上の点です。
参考 として、 ()であっても、(2)は成立します。計算してみてください。ただし、kにはという条件が付くそうです。


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