東大理系数学'06年前期[3]

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Oを原点とする座標平面上に、y軸上の点Pと、直線m：が与えられている。ここで、，とする。
いま、傾きがaの直線lを対称軸とする対称移動を行うと、原点Oは直線上の、第1象限の点Qに移り、y軸上の点Pは直線m上の、第1象限の点Rに移った。

(1) このとき、をaとpで表せ。

(2) 次の条件を満たす点Pが存在することを示し、そのときのpの値を求めよ。

条件：どのようなq ()に対しても、原点を通り直線lに垂直な直線はとなる。

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解答　気力を充実させて、ただひたすら計算をする問題です。なお、座標平面における対称を参照してください。

(1) 直線lの方程式を，Qのx座標をq，Rのx座標をrとする。

題意より、で，またm上にない点Pのlに関する対称点がm上に来ることから、
点Oと点Qが直線lに関して対称だから、

，
∴ ，　･･･�@

点Pと点Rが直線lに関して対称だから、

，

前者より、　()　･･･�A
後者から�@を引いて、

∴ ，　()

これを�Aに代入すると、

分母を払って、

∴ ......[答]

(2) とが出てくるので正接に関する3倍角の公式を導いておきます。

　(2倍角の公式を参照)

　･･･�B

条件より、　(2直線の平行・垂直を参照)

∴ 　･･･�C

�Bにおいて、として、

(1)の結果を用いて、

分母を払うと、

展開して整理すると、

　･･･�D
q とaの間には、�Cという関係があるので、�Dが、q にかかわらず、すなわち、aにかかわらず成立するためには、 ......[答]

点Pをとすれば、任意のq ()に対して�Cが成立するようにaをとれば、直線lとが垂直になり、与えられた条件が成立するので、点Pは存在します。

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