東大理系数学'06年前期[4]

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次の条件を満たす組を考える。

条件(A)：x，y，zは正の整数でおよびを満たす。

以下の問いに答えよ。

(1) 条件(A)を満たす組でとなるものをすべて求めよ。

(2) 組が条件(A)を満たすとする。このとき、組が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。

(3) 条件(A)を満たす組は、無数に存在することを示せ。

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解答　とりたてて難問というほどではありませんが、試験会場で、どれだけ冷静に考えることができるか、という問題です。

(1) ・のとき、

∴

これを満たす、正の整数x，zは存在しません。

・のとき、

∴

これを満たす、正の整数x，zは存在しません。

・のとき、

より、に限られます。

i) のとき、

これを満たす正の整数zは存在しません。

ii) のとき、

これを満たす正の整数zは存在しません。

iii) のとき、

∴

以上より、 ......[答]

(2) 組が条件(A)を満たすので、　･･･�@　が成立します。

このとき、組が条件(A)を満たすなら、が成り立つはずです。
このとき、�@より、，よって、

∴

とについて、であることが示せれば良いのですが、の場合と、それ以外の場合とで分けて調べます。

・であれば、として、条件(A)を満たす組が存在します。

・または、である場合、(1)より、ゆえ、の両辺にをかけて、

より、
よって、

∴ 　･･･�A

よって、組は条件(A)を満たします。
以上より、組が条件(A)を満たすようなzが存在します。

(3) から出発して、組から組を求めるという手順で、条件(A)を満たす組を次々に求めていったとします。

実際に求めていくと、→→→→→となっていきます。

条件(A)を満たす、n番目の組 ()が存在することを数学的帰納法により示します。

・のとき、 とすれば、(1)により、1番目の組が存在します。

・のとき、とすれば、(1)により、2番目の組が存在します。

・のとき、条件(A)を満たす組，が存在すると仮定します。

，，として、(2)より、とすれば、条件(A)を満たす組が存在します。
よって、のときも、条件(A)を満たす、n番目の組が存在します。

数学的帰納法により、となる整数nに対して、条件(A)を満たす、n番目の組が存在します。

の場合に、(2)の中で、，として、より、であり、

のときに、(2)の中で、，として、であれば、 (�Aの不等号の等号を除くことができる)

従って、すべてのについて、

以上より、すべてのについて、条件(A)を満たす組は異なります。
正の整数は無数に存在するので、条件(A)を満たす組も無数に存在します。

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