東大理系数学'06年前期[4]

次の条件を満たす組を考える。
条件(A)xyzは正の整数でおよびを満たす。
以下の問いに答えよ。
(1) 条件(A)を満たす組となるものをすべて求めよ。
(2) が条件(A)を満たすとする。このとき、組が条件(A)を満たすようなzが存在することを示せ。
(3) 条件(A)を満たす組は、無数に存在することを示せ。

解答 とりたてて難問というほどではありませんが、試験会場で、どれだけ冷静に考えることができるか、という問題です。

(1) のとき、
これを満たす、正の整数xzは存在しません。

のとき、
これを満たす、正の整数xzは存在しません。

のとき、
より、に限られます。

i) のとき、
これを満たす正の整数zは存在しません。

ii) のとき、
これを満たす正の整数zは存在しません。

iii) のとき、


以上より、 ......[]

(2) が条件(A)を満たすので、 ・・・@ が成立します。
このとき、組が条件(A)を満たすなら、が成り立つはずです。
このとき、@より、,よって、

について、であることが示せれば良いのですが、の場合と、それ以外の場合とで分けて調べます。
であれば、として、条件(A)を満たす組が存在します。
または、である場合、(1)より、ゆえ、の両辺にをかけて、
より、
よって、
 ・・・A
よって、組は条件(A)を満たします。
以上より、組が条件(A)を満たすようなzが存在します。

(3) から出発して、組から組を求めるという手順で、条件(A)を満たす組を次々に求めていったとします。
実際に求めていくと、となっていきます。

条件(A)を満たす、n番目の組 ()が存在することを数学的帰納法により示します。
のとき、 とすれば、(1)により、1番目の組が存在します。
のとき、とすれば、(1)により、2番目の組が存在します。
のとき、条件(A)を満たす組が存在すると仮定します。
として、(2)より、とすれば、条件(A)を満たす組が存在します。
よって、のときも、条件(A)を満たす、n番目の組が存在します。
数学的帰納法により、となる整数nに対して、条件(A)を満たす、n番目の組が存在します。

の場合に、(2)の中で、として、より、であり、
のときに、(2)の中で、として、であれば、 (Aの不等号の等号を除くことができる)
従って、すべてのについて、

以上より、すべてのについて、条件(A)を満たす組は異なります。
正の整数は無数に存在するので、条件(A)を満たす組も無数に存在します。


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