東京大学文系2007年前期数学入試問題

[1]
 連立不等式

の表す領域を
Dとする。
(1) Dを図示せよ。
(2) Dの面積を求めよ。
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[2] rをみたす実数、n2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件@,Aをみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。
@ 新しい2つの円の半径の比はrで、半径の和はもとの円の半径に等しい。
A 新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に個の円を作る。
・最初に、平面上に半径1の円を描く。
・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)
k回目の操作で得られた個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、個の円を得る()
(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。
(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。
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[3] 正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数をいう。たとえば200012345の下2桁はそれぞれ045である。mが正の整数全体を動くとき、の下2桁として現れる数をすべて求めよ。
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[4] 表が出る確率がp,裏が出る確率がであるような硬貨がある。ただし、とする。この硬貨を投げて、次のルール()の下で、ブロック積みゲームを行う。
  
() 
nを正の整数、mをみたす整数とする。
(1) n回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さがmとなる確率を求めよ。
(2) (1)で、最後にブロックの高さがm以下となる確率を求めよ。
(3) ルール()の下で、n回の硬貨投げを独立に2度行い、それぞれ最後のブロックの高さを考える。2度のうち、高い方のブロックの高さがmである確率を求めよ。ただし、最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。
(東大理系'07前期[5]と同一)
[
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