東京大学文系
2007
年前期数学入試問題
[1]
連立不等式
,
の表す領域を
D
とする。
(1)
D
を図示せよ。
(2)
D
の面積を求めよ。
[
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]
[2]
r
は
をみたす実数、
n
は
2
以上の整数とする。平面上に与えられた
1
つの円を、次の条件@,Aをみたす
2
つの円で置き換える操作
(P)
を考える。
@ 新しい
2
つの円の半径の比は
r
:
で、半径の和はもとの円の半径に等しい。
A 新しい
2
つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。
以下のようにして、平面上に
個の円を作る。
・最初に、平面上に半径
1
の円を描く。
・次に、この円に対して操作
(P)
を行い、
2
つの円を得る
(
これを
1
回目の操作という
)
。
・
k
回目の操作で得られた
個の円のそれぞれについて、操作
(P)
を行い、
個の円を得る
(
)
。
(1)
n
回目の操作で得られる
個の円の周の長さの和を求めよ。
(2) 2
回目の操作で得られる
4
つの円の面積の和を求めよ。
(3)
n
回目の操作で得られる
個の円の面積の和を求めよ。
[
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]
[3]
正の整数の下
2
桁とは、
100
の位以上を無視した数をいう。たとえば
2000
,
12345
の下
2
桁はそれぞれ
0
,
45
である。
m
が正の整数全体を動くとき、
の下
2
桁として現れる数をすべて求めよ。
[
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]
[4]
表が出る確率が
p
,裏が出る確率が
であるような硬貨がある。ただし、
とする。この硬貨を投げて、次のルール
(
R
)
の下で、ブロック積みゲームを行う。
(
R
)
n
を正の整数、
m
を
をみたす整数とする。
(1)
n
回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さが
m
となる確率
を求めよ。
(2) (1)
で、最後にブロックの高さが
m
以下となる確率
を求めよ。
(3)
ルール
(
R
)
の下で、
n
回の硬貨投げを独立に
2
度行い、それぞれ最後のブロックの高さを考える。
2
度のうち、高い方のブロックの高さが
m
である確率
を求めよ。ただし、最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。
(
東大理系
'07
前期
[5]
と同一
)
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