東京大学文系2007年前期数学入試問題

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[1]　連立不等式
，
の表す領域をDとする。

(1) Dを図示せよ。

(2) Dの面積を求めよ。

[解答へ]

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[2]　rはをみたす実数、nは2以上の整数とする。平面上に与えられた1つの円を、次の条件�@，�Aをみたす2つの円で置き換える操作(P)を考える。

�@　新しい2つの円の半径の比はr：で、半径の和はもとの円の半径に等しい。

�A　新しい2つの円は互いに外接し、もとの円に内接する。

以下のようにして、平面上に個の円を作る。

・最初に、平面上に半径1の円を描く。

・次に、この円に対して操作(P)を行い、2つの円を得る(これを1回目の操作という)。

・k回目の操作で得られた個の円のそれぞれについて、操作(P)を行い、個の円を得る()。

(1) n回目の操作で得られる個の円の周の長さの和を求めよ。

(2) 2回目の操作で得られる4つの円の面積の和を求めよ。

(3) n回目の操作で得られる個の円の面積の和を求めよ。

[解答へ]

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[3]　正の整数の下2桁とは、100の位以上を無視した数をいう。たとえば2000，12345の下2桁はそれぞれ0，45である。mが正の整数全体を動くとき、の下2桁として現れる数をすべて求めよ。
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[4]　表が出る確率がp，裏が出る確率がであるような硬貨がある。ただし、とする。この硬貨を投げて、次のルール(Ｒ)の下で、ブロック積みゲームを行う。
　　(Ｒ)　
nを正の整数、mををみたす整数とする。

(1) n回硬貨を投げたとき、最後にブロックの高さがmとなる確率を求めよ。

(2) (1)で、最後にブロックの高さがm以下となる確率を求めよ。

(3) ルール(Ｒ)の下で、n回の硬貨投げを独立に2度行い、それぞれ最後のブロックの高さを考える。2度のうち、高い方のブロックの高さがmである確率を求めよ。ただし、最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする。

(東大理系'07前期[5]と同一)
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