東大理系数学'08前期[1]検討

[1](解答はこちら) 数学オリンピック・メダリストという方ならともかく、普通の受験生は、第1問ということもあり、問題文を読むと驚かされると思います。この問題をものにできるかどうかの分かれ目は、無限角形が答になるはずがない、という漠然とした期待感と、点が、すべての直線上の点になっていることに気づくことにあると思います。
そのためには、まず最初に、直線
と直線の交点を求めて、この交点が移動fでどこに行くのかを調べるべきでしょう。
私は、もしかして無限角形になる?、か、数列
が循環するような数列になることを期待しましたが、の交点が、移動fの不動点になることがわかって、ガッカリしてしまいました。試験場では喜ぶべきかも知れませんけれど。
が不動点になることに気づいてしまえば、あとは、3項間漸化式の標準的な解法の知識と論述力が問われるだけです。
のときに、直線は直線に近づきますが、「すべての,・・・,,・・・ に含まれるような点」というときに、直線上のの部分の点を入れるのか、除外するのか、迷いましたが、ここでは、世の大勢に従いました。
もし、領域が
()となっていて、 (s:無理数)とか、 (pqは互いに素な自然数)となっているようなときはどうなるのでしょうか?
であれば、角形の周上または内部、 (s:無理数)のときは、円周から内側、ということになるのでしょうか?


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