東大理系数学'08前期[2]

白黒2種類のカードがたくさんある。そのうちk枚のカードを手もとにもっているとき、次の操作(A)を考える。
(A) 手持ちのk枚の中から1枚を、等確率で選び出し、それを違う色のカードにとりかえる。
以下の問(1)(2)に答えよ。
(1) 最初に白2枚、黒2枚、合計4枚のカードをもっているとき、操作(A)n回繰り返した後に初めて、4枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。
(2) 最初に白3枚、黒3枚、合計6枚のカードをもっているとき、操作(A)n回繰り返した後に初めて、6枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ。

解答 東大は、比較的、確率は取り組み易い問題が多い気がします。早合点、ケアレス、場合分けの漏れ、などに注意してください。
(1)(2)とも、白黒が逆になっても変わりがないところをうまく考えましょう。また、「初めて」同じ色になる確率を求めるので、一度、同じ色になってしまった場合は、それ以降は考える必要がないことにも注意してください。

(1) 1回目に白を引く(確率)と、白が黒に変わって、白1枚、黒3枚となり、さらに2回目に白を引く(確率)と全て黒になります。この確率は、 (独立試行の確率を参照)
このとき、2回目に黒を引く(確率)と、元の状態に戻ってしまいます。この確率は、
白と黒が逆になった場合も同じで、2回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
2回の操作で元の状態に戻る確率が、
この後、同様のことが繰り返されて、mを自然数として、回操作を行うと、4枚とも同じ色になるか、元の状態に戻ります。一度、4枚とも同じ色になってしまうと、それ以降は考える必要はありません。
回の操作で元の状態に戻る確率は、
回の操作で4枚とも同じ色になる確率は、回目に元の状態で、その後の2回の操作で、同じ色を2回引いた場合です。その確率は、
回目には、片方が3枚で、他方が1枚となり、4枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、4枚とも同じ色になる確率は、
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(2) 1回目に白を引くと、白が2枚、黒が4枚となり、2回目に白を引くと、白が1枚、黒が5枚となり、3回目に白を引くと、6枚とも黒になります。
3回めに黒を引くと、白が2枚、黒が4枚の状態に戻ります。
2回目に黒を引くと、最初の状態に戻ります。
この状況変化の仕方は、白と黒が逆になった場合も同じです。白黒の違いはないので、白黒を区別せず、両者3枚ずつの状態を@,片方が4枚で他方が2の状態をA,片方が5枚で他方が1の状態をB,6枚とも同じ色のカードになる場合をCとします。
最初は@です。
1回目の操作で、無条件に、確率1で、Aになります。
2回目の操作で、Bに行くか、@に戻ります。6枚中2枚の方を引く確率はでBに移行し、6枚中4枚の方を引く確率はで@に移行します。
2回目にBに移行した場合、3回目の操作で、Cに行くか、Aに戻ります。6枚中1枚の方を引く確率はでCに移行し、6枚中5枚の方を引く確率はでAに移行します。
2回目に@に戻った場合、3回目の操作で、無条件に、確率1で、Aに移行します。
Cになってしまえば、それ以降は考える必要がないので、以後、奇数回目の操作で、AかCになり、偶数回目の操作で、@かBになることが繰り返されることになります。

m0以上の整数として、回目の操作後にAだったとして、回目の操作でAに戻るのは、A→B→Aとなるか、A→@→Aとなる場合です。
A→B→Aとなる確率は、,A→@→Aとなる確率は、
よって、回目の操作後にAで回目の操作でAに戻る確率は、 (和事象・積事象・余事象を参照)

回目の操作後にAだったとして、回目の操作でCに至るのは、A→B→Cとなる場合で、その確率は、

mを自然数として、回目の操作でAになっている確率は、
回の操作でC,つまり、6枚とも同じ色のカードになるのは、回目にAの状態で、その後、2回続けて、少ない方の色を引いた場合で、
回の操作では、@かBの状態にあり、6枚とも同じ色になることはありません。
よって、n回の操作で、6枚とも同じ色になる確率は、
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