東大理系数学'08前期[4]

放物線上に2PQがある。線PQの中点のy座標をhとする。
(1) 線分PQの長さLと傾きmで、hを表せ。
(2) Lを固定したとき、hがとりうる値の最小値を求めよ。

解答 東大の数学の入試問題は、オリジナリティーあふれる問題が多いのですが、よく勉強していて技巧を数多く身につけた受験生にも敬意を払って、毎年1題は頻出パターン問題を出題しています。このタイプの問題を落とさないことが合格への早道でしょう。

(1) 直線PQの方程式をとします。
PQとすると、ab は、を連立したときにできる2次方程式:2解です。解と係数の関係より、
 ・・・@
線分PQの長さがLなので、@を用いて、



 ・・・A
hも@を用いて、
 ・・・B
Aより、
両辺にを加えて2で割ると、
これより、Bは、
......[]

(2) hの式の形を見ると、相加平均・相乗平均の利用(不等式の証明を参照)が浮かぶのですが、
として、等号成立の条件:,つまり、は、のときには、満たされようがないので困ることになります。
こういうときには、微分して調べた方が安全です。
hmの関数と見ても良いのですが、 (,線分PQx座標の絶対値の大きい方にいくらでも持って行けるので、,つまりtには上限はありません)とおいて、

なので、ですが、の方は、のときと、のときで分かれます。これが、相加平均・相乗平均の関係をうまく利用できるか、利用できないか、ということに対応しているわけです。
(i) のとき、
t0
0

増減表より、 ()のとき、hは最小値:をとります(関数の増減を参照)
(ii) のとき、より、で、は単調増加です。
よって、においては、,つまり、のとき、hは最小値:をとります。
のとき、のとき、 ......[]


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