東大理系数学'08前期[5]

自然数nに対し、で表す。たとえばである。
(1) m0以上の整数とする。で割り切れるが、では割り切れないことを示せ。
(2) n27で割り切れることが、27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ。

解答 今年の問題の中では一番頭を使う問題です。参考書の受験技巧をマスターしているだけでは歯が立ちません。試験会場での勇気と構想力が必要です。出題者の情熱が伝わってくる問題で、東大を志望する人は必ず考えてみて頂きたい。なお、整数を参照。

(1) こういうタイプの問題では、数値代入して、問題のカラクリをつかむことから始めます。
のとき、
は、で割り切れるが、では割り切れません。・・・()
のとき、
は、で割り切れるが、では割り切れません。
のとき、
 ・・・@
は、で割り切れるが、では割り切れません。
のとき、
 ・・・A
は、で割り切れるが、では割り切れません。

mのときに、のときの項が出てくるので、数学的帰納法を利用するという方針が立ちます。あとは、の形をしているところが3で割り切れるが9では割り切れないことを示せばよい、ということになります。

自然数nに対して、9の倍数なので、pを自然数として、と置くことができます。
従って、2つの自然数mnに対して、abを自然数として、
は、3で割り切れるが9では割り切れません。・・・(**)

数学的帰納法により、題意を示します。
(T) のとき、()より、題意は成立します。
(U) のとき、題意が成立するとして、は、で割り切れるが、では割り切れない、と、仮定します。
のとき、

(**)より、これは、で割り切れるが、では割り切れません。
(T)(U)より、題意が示されました。

(2) n27で割り切れる 27で割り切れる」はすぐに言えます(下記)が、逆がなかなか言えません。
,・・・ が、27で割れるかどうか確かめてみよう、ということになりますが、27で割り切れない数を2個足すと27で割り切れるということがあり得るので、9で割れるか調べてみます。
÷91÷90あまり1
÷911÷91あまり2
÷9111÷912あまり3
÷91111÷9123あまり4
÷911111÷91234あまり5
÷9111111÷912345あまり6
÷91111111÷9123456あまり7
÷911111111÷91234567あまり8
規則性があってキレイだなあ、などと、感心している場合ではありません。ずっとやると疲れるので、やめます。
これで、は、9では割り切れないことがわかりました。
(1)で、は、9では割り切れるが、27で割り切れないことが示されています。
として、を調べます。
@より、 ・・・B と書けるので、

1項は9の倍数ですが、は上記のように9の倍数ではなく、9で割り切れません(27で割り切れない2数の和は、27で割り切れない、とは言えないことに注意。これが、最初に9で割った理由です)
Bを用いて、
9の倍数ですが27の倍数ではなく、3の倍数ではなく、9では割り切れるが、27では割り切れません。
として、を調べます。Bを使って、

9の倍数と9の倍数でないものの和の形なので、9で割り切れません。
これで、27で割り切れないことがわかりました。

mを自然数として、Aより、と書けるので、


 (の項を中カッコ内から外に出して、をくくりだした)
 (二項定理を参照)
(1)より27で割り切れるので、は、27で割り切れます。

mを自然数、として、
27の倍数と27の倍数でないものの和の形なので、27では割り切れません。
以上より、n27で割り切れることが、27で割り切れるための必要十分条件であることが示されました。


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