東大理系数学'08前期[5]検討

[5](解答はこちら) レベルもほどほどで東大らしいよく練られた香り高い問題です。こういう問題を解答してこそ東大生の真骨頂と言うべきですが、試験会場では(1)だけにして、[1][4]に全力を挙げる方が利口かも知れません。
解答では、シラミつぶしで調べました。市販本の解答はもっとスマートな解答だと思います。しかし、試験会場ではこの解答程度が限界ではないでしょうか?勇気を起こして構想をまとめきるのに、どれだけの時間がかかるか、他の問題で点を稼ぐこととのトレード・オフをしっかり見極めないと、考えていて楽しくなる問題だけに、この問題で時間を使い過ぎて、他の問題を解く時間がなくなることが心配です。

市販本の解答では、自然数
n10進法で表したときに各位の数字の和が3の倍数ならn3の倍数であり、各位の数字の和が9の倍数ならn9の倍数である、という事実を使ってもっと簡単に示しているようです。
(1)では、(**)部分は、2つの異なる自然数mnに対して、は、各位の数字の和が3だから、3で割り切れるが9では割り切れない、と、すぐに言えます。
(2)では、“27で割り切れる n27で割り切れる”の証明は、
の各位の数字の和がnなので、27で割りきれるなら9の倍数だから各位の数字の和n9の倍数で、mを自然数としてとおくと、

(1)より、9の倍数だが27の倍数でないので、27で割りきれるなら中カッコ内は3の倍数でなければならず、中カッコ内の数値の各位の数字(1'がm個ある)の和m3の倍数。従って、27の倍数、と、容易に言うことができます。
こういうスマートな解答が、試験会場で短時間に思いつけたらそれで解答すればよいと思いますが、思いつけないときの安全策としては、
20分、30分と簡便解法を考えるくらいなら時間はかかりますが、解答のようにシラミつぶしで全数チェックしていくのがよいと私は思います。全数チェックしていくうちに、簡単な解法がヒラめくということもあります。


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