東京大学文系2009年数学入試問題

[1]
 座標平面において原点を中心とする半径2の円をとし、点を中心とする半径1の円をとする。また、点を中心とする半径t の円が、に内接し、かつに外接すると仮定する。ただし、bは正の定数とする。
(1) abt を用いて表せ。また、t がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) t(1)で求めた範囲を動くとき、bの最大値を求めよ。
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[2] 自然数に対し、個の二項係数
,・・・,
を考え、これらすべての最大公約数をとする。すなわちはこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1) mが素数ならば、であることを示せ。
(2) すべての自然数kに対し、で割り切れることを、kに関する数学的帰納法によって示せ。
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[3] スイッチを1回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が1個、等確率で出てくる機械がある。2つの箱LRを用意する。次の3種類の操作を考える。
(A) 1回スイッチを押し、出てきた玉をLに入れる。
(B) 1回スイッチを押し、出てきた玉をRに入れる。
(C) 1回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、Lになければその玉をLに入れ、Lにあればその玉をRに入れる。
(1) LRは空であるとする。操作(A)5回おこない、さらに操作(B)5回おこなう。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率を求めよ。
(2) LRは空であるとする。操作(C)5回おこなう。このときL4色すべての玉が入っている確率を求めよ。
(3) LRは空であるとする。操作(C)10回行う。このときLにもRにも4色すべての玉が入っている確率をとする。を求めよ。
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[4] 2次以下の整式に対し
を考える。
(1) のときSaの関数として表せ。
(2) をみたしながらfが変化するとき、Sの最小値を求めよ。
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