東京大学文系
2009
年数学入試問題
[1]
座標平面において原点を中心とする半径
2
の円を
とし、点
を中心とする半径
1
の円を
とする。また、点
を中心とする半径
t
の円
が、
に内接し、かつ
に外接すると仮定する。ただし、
b
は正の定数とする。
(1)
a
,
b
を
t
を用いて表せ。また、
t
がとり得る値の範囲を求めよ。
(2)
t
が
(1)
で求めた範囲を動くとき、
b
の最大値を求めよ。
[
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]
[2]
自然数
に対し、
個の二項係数
,
,・・・,
を考え、これらすべての最大公約数を
とする。すなわち
はこれらすべてを割り切る最大の自然数である。
(1)
m
が素数ならば、
であることを示せ。
(2)
すべての自然数
k
に対し、
が
で割り切れることを、
k
に関する数学的帰納法によって示せ。
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]
[3]
スイッチを
1
回押すごとに、赤、青、黄、白のいずれかの色の玉が
1
個、等確率
で出てくる機械がある。
2
つの箱
L
と
R
を用意する。次の
3
種類の操作を考える。
(A)
1
回スイッチを押し、出てきた玉を
L
に入れる。
(B)
1
回スイッチを押し、出てきた玉を
R
に入れる。
(C)
1
回スイッチを押し、出てきた玉と同じ色の玉が、
L
になければその玉を
L
に入れ、
L
にあればその玉を
R
に入れる。
(1) L
と
R
は空であるとする。操作
(A)
を
5
回おこない、さらに操作
(B)
を
5
回おこなう。このとき
L
にも
R
にも
4
色すべての玉が入っている確率
を求めよ。
(2) L
と
R
は空であるとする。操作
(C)
を
5
回おこなう。このとき
L
に
4
色すべての玉が入っている確率
を求めよ。
(3) L
と
R
は空であるとする。操作
(C)
を
10
回行う。このとき
L
にも
R
にも
4
色すべての玉が入っている確率を
とする。
を求めよ。
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]
[4]
2
次以下の整式
に対し
を考える。
(1)
,
のとき
S
を
a
の関数として表せ。
(2)
,
をみたしながら
f
が変化するとき、
S
の最小値を求めよ。
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