東大文系数学'09年[1]
座標平面において原点を中心とする半径2の円を
とし、点
を中心とする半径1の円を
とする。また、点
を中心とする半径t の円
が、
に内接し、かつ
に外接すると仮定する。ただし、bは正の定数とする。
(1) a，bをt を用いて表せ。また、t がとり得る値の範囲を求めよ。
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき、bの最大値を求めよ。
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解答 (1)は、2円の位置関係に関する問題です。図形的意味を考えるようにしましょう。(2)は2次関数の最大最小の問題です。
(1) 2円が接するとき、2円の中心は接点と一直線上にあります。P
，Q
とすると、
は
に内接するので、2円の中心間距離OQは半径の差に等しく、
･･･①
は
に外接するので、2円の中心間距離PQは半径の和に等しく、
･･･②
･･･③
より、
......[答]また、
∴ 
......[答]注．円
の中心がx軸よりも上にある(
)とき、円
の半径tは、Qが
に近づくといくらでも0に近づき、Qが
に近づくといくらでも1に近づくので、
です。
(2) ③より、
において、
は
のとき最大値2をとるので、bの最大値は
......[答]
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