東京大学理系2010年前期数学入試問題

[1]
 3辺の長さがabc の直方体を、長さがb1辺を回転軸として回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をabcを用いて表せ。
(2) のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。
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[2](1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。
(2) であるようなすべての自然数mnに対して、次の不等式を示せ。
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[3] 2つの箱LR,ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率で出るコイン1枚を用意する。x0以上30以下の整数とする。Lx個,R個のボールを入れ、次の操作()を繰り返す。

() Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、個のボールを移す。ただし、のときのときとする。

m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率をとする。たとえばとなる。以下の問(1)(2)(3)に答えよ。
(1) のとき、xに対してうまくyを選び、で表せ。
(2) nを自然数とするとき、を求めよ。
(3) nを自然数とするとき、を求めよ。
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[4] Oを原点とする座標平面上の曲線
C
と、その上の相異なる2を考える。
(1) ()を通るx軸に平行な直線と、直線との交点を、それぞれ ()とする。このときの面積は等しいことを示せ。
(2) とする。このときCの範囲にある部分と、線分とで囲まれる図形の面積を、を用いて表せ。
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[5] Cを半径1の円周とし、AC上の1点とする。3PQRAを時刻に出発し、C上を各々一定の速さで、PQは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻まで動く。PQRの速さは、それぞれm12であるとする。(したがって、QCをちょうど一周する。)ただし、mをみたす整数である。△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
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[6] 四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、であるとする。また、3OABを含む平面をLとする。
(1) Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。を用いて表せ。
(2) をみたす実数tに対して、線分OAOB各々をtに内分する点をそれぞれとおく。2を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積を求めよ。
(3) tの範囲を動くとき、の最大値を求めよ。
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