東京大学理系
2010
年前期数学入試問題
[1]
3
辺の長さが
a
と
b
と
c
の直方体を、長さが
b
の
1
辺を回転軸として
回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体を
V
とする。
(1)
V
の体積を
a
,
b
,
c
を用いて表せ。
(2)
のとき、
V
の体積のとりうる値の範囲を求めよ。
[
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]
[2]
(1)
すべての自然数
k
に対して、次の不等式を示せ。
(2)
であるようなすべての自然数
m
と
n
に対して、次の不等式を示せ。
[
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]
[3]
2
つの箱
L
と
R
,ボール
30
個、コイン投げで表と裏が等確率
で出るコイン
1
枚を用意する。
x
を
0
以上
30
以下の整数とする。
L
に
x
個,
R
に
個のボールを入れ、次の操作
(
#
)
を繰り返す。
(
#
)
箱
L
に入っているボールの個数を
z
とする。コインを投げ、表が出れば箱
R
から箱
L
に、裏が出れば箱
L
から箱
R
に、
個のボールを移す。ただし、
のとき
,
のとき
とする。
m
回の操作の後、箱
L
のボールの個数が
30
である確率を
とする。たとえば
となる。以下の問
(1)
,
(2)
,
(3)
に答えよ。
(1)
のとき、
x
に対してうまく
y
を選び、
を
で表せ。
(2)
n
を自然数とするとき、
を求めよ。
(3)
n
を自然数とするとき、
を求めよ。
[
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]
[4]
O
を原点とする座標平面上の曲線
C
:
と、その上の相異なる
2
点
,
を考える。
(1)
(
)
を通る
x
軸に平行な直線と、直線
との交点を、それぞれ
(
)
とする。このとき
と
の面積は等しいことを示せ。
(2)
とする。このとき
C
の
の範囲にある部分と、線分
,
とで囲まれる図形の面積を、
,
を用いて表せ。
[
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]
[5]
C
を半径
1
の円周とし、
A
を
C
上の
1
点とする。
3
点
P
,
Q
,
R
が
A
を時刻
に出発し、
C
上を各々一定の速さで、
P
,
Q
は反時計回りに、
R
は時計回りに、時刻
まで動く。
P
,
Q
,
R
の速さは、それぞれ
m
,
1
,
2
であるとする。
(
したがって、
Q
は
C
をちょうど一周する。
)
ただし、
m
は
をみたす整数である。△
PQR
が
PR
を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ
m
と時刻
t
の組をすべて求めよ。
[
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]
[6]
四面体
OABC
において、
4
つの面はすべて合同であり、
,
,
であるとする。また、
3
点
O
,
A
,
B
を含む平面を
L
とする。
(1)
点
C
から平面
L
におろした垂線の足を
H
とおく。
を
と
を用いて表せ。
(2)
をみたす実数
t
に対して、線分
OA
,
OB
各々を
t
:
に内分する点をそれぞれ
,
とおく。
2
点
,
を通り、平面
L
に垂直な平面を
M
とするとき、平面
M
による四面体
OABC
の切り口の面積
を求めよ。
(3)
t
が
の範囲を動くとき、
の最大値を求めよ。
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