東京大学理系2010年前期数学入試問題

東京大学理系2010年前期数学入試問題
[1]　3辺の長さがaとbとc の直方体を、長さがbの1辺を回転軸として

回転させるとき、直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をa，b，cを用いて表せ。
(2)

のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。
[解答へ]

[2](1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。

(2)

であるようなすべての自然数mとnに対して、次の不等式を示せ。

[3]　2つの箱LとR，ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率

で出るコイン1枚を用意する。xを0以上30以下の整数とする。Lにx個，Rに

個のボールを入れ、次の操作(＃)を繰り返す。

(＃) 箱Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、

個のボールを移す。ただし、

のとき

，

のとき

とする。

m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率を

とする。たとえば

となる。以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ。

(1)

のとき、xに対してうまくyを選び、

を

で表せ。

(2) nを自然数とするとき、

を求めよ。

(3) nを自然数とするとき、

を求めよ。

[4]　Oを原点とする座標平面上の曲線

C：

と、その上の相異なる2点

，

を考える。

(1)

(

)を通るx軸に平行な直線と、直線

との交点を、それぞれ

(

)とする。このとき

と

の面積は等しいことを示せ。

(2)

とする。このときCの

の範囲にある部分と、線分

，

とで囲まれる図形の面積を、

，

を用いて表せ。

[5]　Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P，Q，RがAを時刻

に出発し、C上を各々一定の速さで、P，Qは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻

まで動く。P，Q，Rの速さは、それぞれm，1，2であるとする。(したがって、QはCをちょうど一周する。)ただし、mは

をみたす整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。
[解答へ]

[6]　四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、

，

，

であるとする。また、3点O，A，Bを含む平面をLとする。

(1) 点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく。

を

と

を用いて表せ。

(2)

をみたす実数tに対して、線分OA，OB各々をt：

に内分する点をそれぞれ

，

とおく。2点

，

を通り、平面Lに垂直な平面をMとするとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積

を求めよ。

(3) tが

の範囲を動くとき、

の最大値を求めよ。

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