東大理系数学'10年前期[4]

Oを原点とする座標平面上の曲線
C
と、その上の相異なる2を考える。
(1) ()を通るx軸に平行な直線と、直線との交点を、それぞれ ()とする。このときの面積は等しいことを示せ。
(2) とする。このときCの範囲にある部分と、線分とで囲まれる図形の面積を、を用いて表せ。

解答 工夫の必要な求積問題ですが、問題文の指定を活かすことにより、面倒な計算を回避できます。

(1) y座標はですが、直線上の点なので、x座標もy座標と等しく、となります。
,つまり、原点O3頂点とする三角形の面積は、
,つまり、原点O3頂点とする三角形の面積は、
曲線C上の点の座標を使って表されているが同じ形をしているので、曲線C上の点について、がどういう値になるかを調べてみます。

(一定) ・・・@
従って、

(2) 求める面積をS,曲線Cx軸、直線で囲む面積をとしての面積をの面積をとして、となる場合を含めて、
(i) の場合、

(ii) の場合、

(iii) の場合、

いずれの場合も、
 ・・・A
問題文の要求は「を用いて表せ」ということなので、を使わずにで表すようにします。@を用いると、
 ・・・B
よって、
これよりAは、
 ・・・C
また、曲線C上の点においては、より、の場合についても、
よって、B両辺をyで割って、
 ・・・D
さて、について、
 ・・・E (定積分と面積を参照)
これも、を使わずで表すようにするために、
とおいて置換積分します。
 ・・・F
が困りますが、Dを用いて、
 ( )
Fに代入して、
よって、
xのときy
こうして、Eは、
Cに代入すると、
......[]


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