東大理系数学'10年前期[5]

Cを半径1の円周とし、AC上の1点とする。3PQRAを時刻に出発し、C上を各々一定の速さで、PQは反時計回りに、Rは時計回りに、時刻まで動く。PQRの速さは、それぞれm12であるとする。(したがって、QCをちょうど一周する。)ただし、mをみたす整数である。△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組をすべて求めよ。

解答 回転運動の問題のように見えますが、実質的には整数問題です。総当たりチェックする範囲を絞ることが目標です。以下では、tの可能性を6通りに絞り、その各場合について、を満たす整数mを探すことになります。

円の中心を原点
Oに沿ってこの方向にx軸,を反時計回りに回転した方向にy軸をとり、点Aの座標をとします。
3PQRが円周に沿って移動した距離は、tで、半径が1なので、この距離はそのまま回転角の大きさとなり、PQが反時計回り、Rが時計回りに動くことから、PQRの時刻tにおける座標は、
PQR () (三角関数を参照)
円周に内接する△PQRPRを斜辺とする直角二等辺三角形になるための必要十分条件は、
PRが円の直径であって、かつ、
となることですが、
PRが円の直径であるためには、
かつ  ・・・@
QRの上に立つ円周角は円周角なので、
よって、 
(内積を参照)
 (加法定理を参照)
においては、より、
()
 ・・・A
@より、

かつ
 
(和を積に直す公式を利用)
のときにはとなり得ないので、両者がともに成り立つためには、
Aより、
()
よって、jを整数として、

 ・・・B
より、




() ・・・C
のとき、Cは、

Bより、
また、Aより、
のとき、Cは、

のときBより、
のときBより、
また、Aより、
のとき、Cは、

このうち、Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき、
また、Aより、
のとき、Cは、

このうち、Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき、
また、Aより、
のとき、Cは、

このうち、Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、のときのとき
また、Aより、
のとき、Cは、

このうち、Bの右辺分子のが分母ので割り切れるのはのみで、このとき
また、Aより、
以上より、
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