東大理系数学'11年前期[2]
実数xの小数部分を、
かつ
が整数となる実数yのこととし、これを記号
で表す。実数aに対して、無限数列
の各項
(
)を次のように順次定める。
(i) 
(ii) 
(1) 
のとき、数列
を求めよ。 (2) 任意の自然数nに対して
となるような
以上の実数aをすべて求めよ。 (3) aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いて
と表すとき、q以上のすべての自然数nに対して、
であることを示せ。
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解答 とっつきにくそうな問題ですが、手を付けてみればそれほどでもない、という問題です。(3)は割り算の余りを使って考えます。なお、整数を参照してください。
(1) 
より、
(ii)で
として、 
より、
であれば、
これより、すべての自然数nについて、
(2) (1)の
がaの1つの候補です。 
･･･①
のとき、
ですが、(ii)より、pを整数として、
とすると、
，よって、 ∴ 
･･･②
より
なので、①より、②の複号は＋をとり、
･･･③また、①より、
･･･④左側の不等号より、
これより、
となりますが、これを満たす整数pは、
③で
として、
これより、
③で
として、
これは、(1)より条件を満たします。
以上より、
......[答] aの2次方程式
は、
より、正の解と負の解をもちます。正の解が
の範囲に存在するために、
かつ 
∴ 
という条件がなければ、③で、
となるすべての実数aを与えます。
(3) pをqで割るときの商をk (k：整数)，余りをj (
)とします。
です。 
なので、
(i)より、
ここで、
ならば(
であったとしても)、
，(ii)より、以降、
特に、
なら
，
となります。
以後
として、
ならば、
を
で割るときの商をm (m：整数)，余りを
(
)とします。
です。
なので、
以降、
のとき、
として、
ここで、
であれば(
であったとしても)、
，(ii)より、以降、
特に、
なら
となり、
，
となります。
かつ
かつ･･･かつ
であれば、
を
で割るときの商を
(
：整数)，余りを
(
)とします。
です。 
，
，･･･，
，qはいずれも0以上の整数なので、
であれば、
，
以降、
以上より、q以上のすべての自然数nに対して、
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のとき、
，
とみて、(i)より、
のとき、
です。(i)より
ですが
なので、
，
より
，
とします。
です。
より、
，
を作ると、
を導くところは、