東大理系数学'11年前期[2]

実数xの小数部分を、かつが整数となる実数yのこととし、これを記号で表す。実数aに対して、無限数列の各項 ()を次のように順次定める。
(i)
(ii)
(1) のとき、数列を求めよ。
(2) 任意の自然数nに対してとなるような以上の実数aをすべて求めよ。
(3) aが有理数であるとする。aを整数pと自然数qを用いてと表すとき、q以上のすべての自然数nに対して、であることを示せ。

解答 とっつきにくそうな問題ですが、手を付けてみればそれほどでもない、という問題です。(3)は割り算の余りを使って考えます。なお、整数を参照してください。

(1) より、
のとき、とみて、(i)より、
(ii)として、
より、
であれば、
これより、すべての自然数
nについて、

(2) (1)a1つの候補です。
のとき、です。(i)よりですがなので、
 ・・・@
のとき、ですが、(ii)より、
pを整数として、とすると、,よって、
 ・・・A
よりなので、@より、Aの複号は+をとり、
 ・・・B
また、@より、

 ・・・C
右側の不等号で、より
Cの各辺を
2乗すると、
左側の不等号より、
これより、となりますが、これを満たす整数pは、
Bでとして、

これより、
Bでとして、
これは、
(1)より条件を満たします。
以上より、
......[]
追記.Aからを導くところは、2次方程式の解の配置を考えて、以下のようにすることもできます。
a2次方程式は、より、正の解と負の解をもちます。正の解がの範囲に存在するために、 かつ

という条件がなければ、Bで、となるすべての実数aを与えます。

(3) pqで割るときの商をk (k:整数),余りをj ()とします。です。
ここで、とします。です。
なので、
(i)より、
ここで、ならば
(であったとしても)(ii)より、以降、
特に、ならとなります。
以後として、ならば、
で割るときの商を
m (m:整数),余りを ()とします。です。

なので、
以降、のとき、として、
ここで、であれば
(であったとしても)(ii)より、以降、
特に、ならとなり、となります。
かつかつ・・・かつであれば、で割るときの商を
(:整数),余りを ()とします。です。

より、
こうして、数列を作ると、
,・・・,qはいずれも0以上の整数なので、であれば、
以降、
以上より、
q以上のすべての自然数nに対して、


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