東大理系数学'11年前期[3]

Lを正定数とする。座標平面のx軸上の正の部分にある点Pに対し、原点Oを中心とし点Pを通る円周上を、Pから出発して反時計回りに道のりLだけ進んだ点をQと表す。
(1) を求めよ。
(2) の範囲の実数aに対し、積分
を求めよ。
(3) 極限を求めよ。

解答 積分の計算問題です。見慣れない形ですが置換積分により解決できます。

(1) 原点を中心とし点Pを通る円周の半径はt です。とすると、弧PQの長さがLより、 (一般角を参照)

これより、
......[]

(2)  (合成関数の微分法を参照)

被積分関数の根号が開けるように、とおきます(置換積分(その2)を参照)
(より、) ・・・@
として、のとき、θ
において
 (三角関数を参照)

とおくと、θのときu

被積分関数を部分分数に分けます
(分数関数の積分を参照)
とおくと、この右辺を変形して、


 (不定積分の公式を参照)

ここで、@が使えるように変形します。
よって、
......[]

(3)
のとき、より(関数の極限を参照)
......[]


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