東大理系数学'11年前期[5]

pq2つの正の整数とする。整数abcで条件
を満たすものを考え、このようなabcの形に並べたものをパターンと呼ぶ。各パターンに対して
とおく。
(1) パターンのうち、となるものの個数を求めよ。また、となるパターンの個数を求めよ。
以下、の場合を考える。
(2) sを整数とする。パターンでとなるものの個数を求めよ。
(3) パターンの個数を求めよ。

解答 パターンの背景はわかりませんが、要するに空間内の格子点を数える問題です。問題文に惑わされなければ、誘導がついているので、悩み込むことはないと思います。但し、細部では神経を使います。

整数の組と、パターンとは
11で対応します。パターンの個数は格子点の個数と一致します。

(1)
より、

より、
問題文中の条件:より、に限られます。このとき、
を満たす整数cの個数は個で、
となるパターンの個数も
......[]
より、

より、
問題文中の条件:より、に限られます。このとき、
を満たす整数cの個数は個で、
となるパターンの個数も
......[]

(2) のとき、

これより、を満たす整数cの個数について、
 ・・・@
また、
より、
これと、問題文中の条件:との共有部分を、以下で場合分けして、考えます。
(i) または ,即ち、 または のとき、
共有部分は存在せず、
パターンでとなるものの個数は
0 ......[]
(ii) ,即ち、のとき、
より、となるので、共有部分は、となり、
パターンでとなるものの個数は、@を用いて、
 (等差数列を参照)
......[]
(iii) ,即ち、のとき、
より、となるので、共有部分は、となり、
パターンでとなるものの個数は、@を用いて、
......[]

(3) (2)において、となるパターンが存在するのは、(ii)の場合と、(iii)の場合で、パターンの個数は、


......[]


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