東京大学理系2012年前期数学入試問題

[1]
 次の連立不等式で定まる座標平面上の領域Dを考える。
直線は原点を通り、Dとの共通部分が線分となるものとする。その線分の長さLの最大値を求めよ。また、Lが最大値をとるとき、x軸とのなす角θ ()の余弦を求めよ。
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[2] 図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋PQを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。
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[3] 座標平面上で2つの不等式
によって定まる領域をSとする。Sx軸のまわりに回転してできる立体の体積をとし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積をとする。
(1) の値を求めよ。
(2) の値と1の大小を判定せよ。
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[4] n2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)n乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。
(1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
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[5] 行列が次の条件(D)を満たすとする。
(D) Aの成分abcdは整数である。また、平面上の4は、面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす。
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 行列も条件(D)を満たすことを示せ。
(2) ならば、ABのどちらかを左から次々にかけることにより、4個の行列のどれかにできることを示せ。
(3) とする。の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たすことを示せ。
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[6] 行列に対して
と定める。
abcを満たす実数とする。行列ABCDを次で定める。
また実数xに対しとする。
このとき以下の問いに答えよ。

(1) 各実数tに対して、xの関数
の最大値を求めよ。(ただし、最大値をとるxを求める必要はない。)
(2) すべての実数tに対し
が成り立つことを示せ。
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