東大理系数学'12年前期[2]

図のように、正三角形を9つの部屋に辺で区切り、部屋PQを定める。1つの球が部屋Pを出発し、1秒ごとに、そのままその部屋にとどまることなく、辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する。球がn秒後に部屋Qにある確率を求めよ。

解答 9部屋ありますが、うまく考えて行けば、9個の数列の連立漸化式にすることもなく、2項間漸化式で解決できます。

右図のように
9部屋に名前をつけます。奇数秒後に球が部屋P,部屋Q,部屋Rにいることはなく、偶数秒後には、球は、部屋P,部屋Q,部屋Rのいずれかに来ます。また、対称性を考えると、部屋Qと部屋Rに来る確率は同じです。部屋Pに来る確率を考えれば、部屋Qに来る確率は余事象の確率として捉えることができて、漸化式を立てることができそうです。
秒後に球が部屋
Pにある確率をとします。最初に部屋Pにあったので、とします。秒後に球が部屋Qにある確率はです。
秒後に球が部屋
Pにあるとき(確率)秒後にも球が部屋Pにあるのは、
秒後に部屋Aに行き(確率)秒後に部屋Pに戻る(確率1)か、
秒後に部屋
Bに行き(確率)秒後に部屋Pに戻る(確率)か、
秒後に部屋
Cに行き(確率)秒後に部屋Pに戻る(確率)
ときで、その確率は、
秒後に球が部屋
Qにあるとき(確率)秒後に球が部屋Pに来るのは、
秒後に部屋Bに行き(確率)秒後に部屋Pに来る(確率)
ときで、その確率は、
秒後に球が部屋
Rにあるとき(確率)秒後に球が部屋Pに来るのも同様に、その確率は
よって、秒後に球が部屋
Pにある確率は、
 ・・・@
をともにαとすると、
 ・・・A ∴
@−Aより、
数列は、初項:,公比:
等比数列です。

球が秒後に部屋Qにある確率は、
よって、球がn秒後に部屋Qにある確率は、
nが奇数のとき0nが偶数のとき、 ......[]


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