東大理系数学'12年前期[3]

座標平面上で2つの不等式
によって定まる領域をSとする。Sx軸のまわりに回転してできる立体の体積をとし、y軸のまわりに回転してできる立体の体積をとする。
(1) の値を求めよ。
(2) の値と1の大小を判定せよ。

解答 (1)は平凡な求積問題です。(2)の数値評価も東大理系では定型パターンで大したことはありません。

(1) 領域Sの境界線、
 ・・・@
 ・・・A 
(楕円を参照)
の交点を求めます。


このとき、
Aと
y軸との交点は、Aでとして、
領域
Sx軸のまわりに回転すると、Aのの部分を回転してできる立体から@のの部分を回転してできる立体を取り除いた立体になります。
@より,Aより
よって、その体積は、領域
Sy軸に関して対称であることから、
 (x軸のまわりの回転体の体積を参照)


......[]
領域Sy軸のまわりに回転すると、@のの部分を回転してできる立体と、Aのの部分を回転してできる立体を合わせたものになります。
@より,Aより
よって、その体積は、
 (y軸のまわりの回転体の体積を参照)


......[]

(2)
なので、となり、となりそうです。
なので、以下のように答案を書くことになります。
より、

従って、 ......[]


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