東大理系数学'12年前期[4]

n2以上の整数とする。自然数(1以上の整数)n乗になる数をn乗数と呼ぶことにする。以下の問いに答えよ。
(1) 連続する2個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。
(2) 連続するn個の自然数の積はn乗数でないことを示せ。

解答 「・・・でないことを示せ」という問題文では、背理法の利用を考えます。なお、整数を参照してください。

(1) 連続する2個の自然数kの積がn乗数だと仮定します。
kは互いに素で1以外の共通の約数を持たないので、n乗数であれば、pqを自然数として、

と表せます。ここで、よりです。

() ()1の約数なので、
 ・・・@
に限られます。ところで、であれば、
このn項の和の各項はいずれも1以上で、
で、@と矛盾が生じます。従って、仮定は誤りで、連続する2個の自然数の積はn乗数ではありません。

(2) のときは(1)で証明されています。
のとき、連続するn個の自然数k,・・・,の積がn乗数だと仮定します。pを自然数として、
 ・・・A
と表せます。
より、
です。よって、iを満たすいずれかの整数(より)として、です。Aは、
となりますが、これでは、,即ちが、 ()で割り切れることになります。は互いに素なので、矛盾が生じます。よって、Aを満たすpは存在せず、連続するn個の積はn乗数ではありません。


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