東大理系数学'12年前期[5]

行列が次の条件(D)を満たすとする。
(D) Aの成分abcdは整数である。また、平面上の4は、面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす。
とおく。次の問いに答えよ。
(1) 行列も条件(D)を満たすことを示せ。
(2) ならば、ABのどちらかを左から次々にかけることにより、4個の行列のどれかにできることを示せ。
(3) とする。の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たすことを示せ。

解答 行列が逆行列をもつ(行列式がゼロでない)とき、行列内をベクトル列(あるいは、ベクトル行)の集まりと見なすとき、それらは1次独立です。背景のありそうな問題ですが、解答は容易です。

(1) Aが条件(D)を満たすことから、 (三角形の面積を参照)
 ・・・@
stを実数として、
とします。と仮定すると、


このとき、
となり、@と矛盾が生じます。よって、となり、1次独立で、4は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
となり、条件(D)を満たします。
stを実数として
とします。と仮定すると、

このとき、
となり、@と矛盾が生じます。よって、となり、1次独立で、4は平行四辺形の4つの頂点となります。平行四辺形の面積は、
となり、条件(D)を満たしています。

(2) まず、を求めておきます。

より、と予測できます。
よって、帰納的に、 (数学的帰納法を参照)

より、と予測できます。
よって、帰納的に、
のとき、

adは整数なので、であって、
のときのとき,であれば、となります。
よって、のどれかにできます。
同様に、のときのとき,であれば、となり、
のどれかにできます。

(3)
acが異符号であれば、より、
よって、

acが同符号であれば、より、
よって、
の少なくともどちらか一方は、それをとすると、
を満たします。


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