東京大学理系2013年前期数学入試問題

[1]
 実数abに対し平面上の点

 ()
によって定める。このとき、次の条件(i)(ii)がともに成り立つようなをすべて求めよ。
(i)
(ii) は相異なる。
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[2] aを実数とし、で定義された関数を次のように定める。

このときのグラフとのグラフがにおいて共有点をちょうど3つ持つようなaをすべて求めよ。
[解答へ]


[3]  AB2人がいる。投げたとき表裏の出る確率がそれぞれのコインが1枚あり、最初はAがそのコインを持っている。次の操作を繰り返す。
(i) Aがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればA1点を与え、コインはAがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、AはコインをBに渡す。
(ii) Bがコインを持っているときは、コインを投げ、表が出ればB1点を与え、コインはBがそのまま持つ。裏が出れば、両者に点を与えず、BはコインをAに渡す。
そして
ABのいずれかが2点を獲得した時点で、2点を獲得した方の勝利とする。たとえば、コインが表、裏、表、表と出た場合、この時点でA1点、B2点を獲得しているのでBの勝利となる。
(1) ABあわせてちょうどn回コインを投げ終えたときにAの勝利となる確率を求めよ。
(2) を求めよ。
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[4]  ABCにおいてとする。△ABCの内部の点P
を満たすとする。
(1) を求めよ。
(2) を求めよ。
[解答へ]


[5] 次の命題を証明したい。
命題P 次の条件(a)(b)をともに満たす自然数(1以上の整数)Aが存在する。
(a) Aは連続する3つの自然数の積である。
(b) A10進法で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。
以下の問いに答えよ。
(1) yを自然数とする。このとき不等式
が成り立つような正の実数xの範囲を求めよ。
(2) 命題Pを証明せよ。
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[6]  座標空間において、xy平面内で不等式により定まる正方形S4つの頂点をABCDとする。正方形Sを、直線BDを軸として回転させてできる立体を,直線ACを軸として回転させてできる立体をとする。
(1) を満たす実数t に対し、平面によるの切り口の面積を求めよ。
(2) の共通部分の体積を求めよ。
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