東大理系数学'13年前期[4]
△ABCにおいて
，
，
とする。△ABCの内部の点Pが
を満たすとする。
(1) 
，
を求めよ。
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解答 ベクトルの問題ではありますが、(2)で、3変数の連立2次方程式をどう解くか、というところが勝負です。
(1) 
，
，
は、それぞれ、
方向，
方向，
方向を向く単位ベクトルです。
より、 ∴ 
∴ 
......[答] ･･･②
従って、
･･･③ となります。
･･･④ (∵ ①)
･･･⑤ (∵ ②)また、
，より、
･･･⑥ (∵ ③)④，⑤，⑥にはa，b，cについて対称性があるので、そこをうまく利用したいところです。
⑥－④より、
･･･⑦⑥－⑤より、
･･･⑧
･･･⑨
とおくと、⑦より、
，⑧より、
･･･⑩
⑨に代入すると、
･･･⑪∴ 
･･･⑫
⑩を⑥に代入すると、 ⑪より、
整理すると、
⑨より
なので、
のとき、⑫より
となり不適。
のとき、⑫より、
⑩より、
，
∴ 
，
，
......[答]
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，
，
を求めよ。
......[答] ･･･①
より、
(
)，
(
)，
(
)とおきます。
