東大理系数学'20年前期[4]
n，kを、
を満たす整数とする。n個の整数
(
)
個の積の和を
とおく。例えば、
である。
(1) 2以上の整数nに対し、
を求めよ。 (2) 1以上の整数nに対し、xについての整式
を考える。
と
をxについての整式として表せ。 (3) 
をn，kで表せ。
解答 眼力ある受験生なら、基本対称式、例えば、
，
，
のでき方を思い出せるかも知れませんが、一般の受験生では、いきなりこの問題を見せられても、何も見えず、どこから手を付ければよいかさえわからないかも知れません。こういうときは、n，kに数値を代入して、感覚をつかむところから始めます。
まず、
のとき、1個の整数、
から異なる1個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
となります。後で、見通しをよくするために、
と書かないで、問題文の例の通り、
と書くようにします。問題文がヒントになっているのです。
のとき、
の2通りの可能性があります。2個の整数は、
として、
です。
のときは、2個から1個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
(
)となります。
のときは、2個から2個を選んで積をとると、
個の積の和
は、
(
)となります(組み合わせを参照)。
のとき、k = 1，2，3の3通りの可能性があります。3個の整数は、
として、
です。
のとき、3個から1個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、3個から2個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、3個から3個を選んで積をとって和をとると、
(
)
のとき、4個の整数は、
です。
は問題文に出ていますが、
(
)，
(
)，
(
)，
(
)
(1) 上記で、
個の積の和
から考えると、
個の積の和
は、 
......[答]
(2) 
，
がxの整式で表される、ということは、
は、
でも、
でも割り切れる、ということです。 
より、と、因数分解できるので、
，
より、
これで、問題の背景が見えてきます。
を証明します。 
(
)は、n個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。つまり、･･････
(
)は、
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和です。
･･･①つまり、n個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の和、と、n個の整数から
異なる
個を選んで積をとり、
個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある)の各々に
をかけたのもの
との和になっていて、結局、
個の整数
から異なるk個を選んで積をとり、k個の整数の選び方すべてに対してとった積(
個ある、
に注意)の和
になっているので、 
･･･②
の係数は、
これより、①は、
従って、
......[答] ･･･③よって、
......[答] ･･･④
(3) ④より、
の係数は、
･･･⑤
②でkを
に代えると、
，よって、
，⑤に代入すると、
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，
，
は
で割り切れて、
は
で割り切れて、
の係数は、
(
)の係数は、
，③を繰り返して用いることにより、
，
......[答]