円のベクトル方程式

中心の位置ベクトルが,半径rの円周上の点の位置ベクトルは、を満たします。
これが、ベクトルを用いた円の方程式です。

は円周上の点と円の中心との距離を表すので、それが半径rで一定となれば、 ・・・@ が円を表すのは明らかでしょう。

として、@式で、成分表示を考えてみます。
@式両辺を
2乗して、

 
 より、
@は、
となります。
これは座標平面上で考えたときの
円の方程式です。

@式とは違った形をしていますが、
も円を表します。
左辺を展開して、
について平方完成と同様の操作を行うと、

 
 
 
 
 
 ・・・A
を点A,点Bの位置ベクトルだとして、は、2ABの中点の位置ベクトルです。2AB間の距離です。
従って、A式は、
ABの中点を中心として、AB間の距離のを半径とする円ということになります。これは、線分ABを直径とする円です。
は、,つまり、円周上の点Pについて、であることを言っている式です。

HCPの位置ベクトルを、として、 ・・・B は、Cを中心とする半径rの円周上の点Hにおける接線を表します。
Hが円周上の点であることから、より、
よって、



これは、,つまり、接線上の点Pと接点Hを結ぶ直線と半径HCが垂直であることを意味しています。
としてBを成分表示してみます。

 
 
よって、Cを中心とする半径rの円:Hにおける接線の方程式は、



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