直線のベクトル方程式

直線のベクトル方程式　　　　関連問題

右図のように、点Aを通り、ベクトル

に平行な直線l上を動く点Pがあったとして、点Pの位置ベクトル

が満たす方程式を考えます。
点PがAに重なるときを除いて、

より、実数tを用いて、

と表せます(

とすれば、点Pは点Aに重なります)。

より、

，

として、

　･･･①
①式を直線のベクトル方程式と言います。変数tが全ての実数をとるとき、点Pは①が示す直線上を全て動きます。

は直線上の1点を指定するベクトルで起点ベクトルと呼ばれます。

は直線の方向を定めるベクトルで方向ベクトルと言います。

①を成分表示の形で書くと、

，

として、(

は直線上の点の座標です)

x成分，y成分ごとに分けて書くと、

これを直線の媒介変数表示と言います。また、変数tを媒介変数と言います。

①の変数tを消去することを考えてみます。

と垂直なベクトルを

とします。このとき、

です。
①式両辺と

との内積を作ると、

∴

･･･②
②式も、ベクトルを利用して直線を示す式です。

ベクトルのx成分と?y成分を入れ替えて、片方にマイナスをつけると、元のベクトルと垂直なベクトルを作ることができます。

のx成分とy成分を入れ替えて、

をaに変えると、

となりますが、

となるので、

です。
②式を成分表示を使って書き直してみます。

ここで、

とおくと、

　･･･③
③は、座標平面上で考えたときの直線の方程式にほかなりません。

は、直線の方程式のxとyの係数を拾い出して作ったベクトルですが、

より、③式が表す直線に垂直な方向を向きます。

を法線ベクトルと言います。

例．直線l：

について、x，yの係数を抜き出して作ったベクトル

が、直線lの法線ベクトルで、直線lに垂直です。直線lの方向ベクトルは法線ベクトルと垂直なベクトル

です。

とすると、

となるので、直線lは、点

を通る直線です。直線lのベクトル方程式は、

直線lの媒介変数表示は、

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