直線のベクトル方程式
関連問題
右図のように、点
A
を通り、ベクトル
に平行な直線
l
上を動く点
P
があったとして、点
P
の
位置ベクトル
が満たす方程式を考えます。
点
P
が
A
に重なるときを除いて、
//
より、実数
t
を用いて、
と表せます
(
とすれば、点
P
は点
A
に重なります
)
。
より、
,
,
,
として、
・・・@
@式を
直線のベクトル方程式
と言います。変数
t
が全ての実数をとるとき、点
P
は@が示す直線上を全て動きます。
は直線上の
1
点を指定するベクトルで起点ベクトルと呼ばれます。
は直線の方向を定めるベクトルで
方向ベクトル
と言います。
@を成分表示の形で書くと、
,
,
として、
(
は
直線上の点の座標です
)
x
成分,
y
成分ごとに分けて書くと、
これを
直線の媒介変数表示
と言います。また、変数
t
を
媒介変数
と言います。
@の変数
t
を消去することを考えてみます。
と垂直なベクトルを
とします。このとき、
です。
@式両辺と
との
内積
を作ると、
∴
・・・A
A式も、ベクトルを利用して直線を示す式です。
ベクトルの
x
成分と
?
y
成分を入れ替えて、片方にマイナスをつけると、元のベクトルと垂直なベクトルを作ることができます。
の
x
成分と
y
成分を入れ替えて、
を
a
に変えると、
となりますが、
となるので、
です。
A式を成分表示を使って書き直してみます。
ここで、
とおくと、
・・・B
Bは、座標平面上で考えたときの
直線の方程式
にほかなりません。
は、直線の方程式の
x
と
y
の係数を拾い出して作ったベクトルですが、
より、B式が表す直線に垂直な方向を向きます。
を
法線ベクトル
と言います。
例.直線
l
:
について、
x
,
y
の係数を抜き出して作ったベクトル
が、直線
l
の法線ベクトルで、直線
l
に垂直です。直線
l
の方向ベクトルは法線ベクトルと垂直なベクトル
です。
とすると、
となるので、直線
l
は、点
を通る直線です。直線
l
のベクトル方程式は、
直線
l
の媒介変数表示は、
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