平面ベクトルの応用

この項目については、ベクトルの1次独立直線のベクトル方程式を参照してください。
三角形
OABがあるとき(1次独立であるとき)stを実数として、で定まる点Pについて、
(i) であれば、点Pは直線AB上の点。
(ii) かつ かつ であれば、点Pは線分AB上の点(両端を含む)
(iii) かつ かつ であれば、点Pは三角形OABの周上または内部の点。

(i) を用いて、sを消去すると、となりますが、これは、点Aを通りに平行な直線、つまり、直線ABのベクトル方程式に他なりません。よって、点Pは直線AB上の点になります。

(ii) かつ かつ であるとき、より、よって、
を用いて、sを消去すると、より、点Pは、線分ABtに内分する点で、より、点Pは線分AB上の点。のとき、点Pは点Aに一致し、のとき、点Pは点Bに一致するので、線分ABの両端が含まれることになります。

(iii) とおきます。 かつ かつ より、です。
すなわちのときは、で、点Pは原点Oに一致します。
のとき、の両辺をkで割って、とおくと、 ・・・@
また、
より、
とおくと、@より、点Qは線分AB上の点(両端を含む)で、より、Pは線分OQ上のO以外の点。
以上より、点
Pは、三角形OABの周上または内部の点です。

以上の(i)(ii)(iii)について、右図のように、1目盛りとする、ひしゃげた座標系(斜交座標系)をとって、直交座標系と同じように考えると、(i)2を結ぶ直線であり、(ii)は、直線の部分であり、(iii)は、原点O3頂点とする三角形の周上、または内部であることとの比較を考えれば、直感的に納得がいくと思います。


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