平面のベクトル方程式

(1) 空間内の平面p上に3ABCがあり、1次独立であるとき、で定まる点Pが平面p上に存在する条件は、 (この条件をこのウェブサイトでは、共面条件と呼ぶことにする)
(2)
空間内の3ABCを通る平面pのベクトル方程式は、平面上の点Pの位置ベクトルを,点Aの位置ベクトルを,また、stを実数として、

(1) 平面p上のベクトルは一次独立です。やはり平面p上に存在するベクトルは、適当な実数stを用いて、 ・・・@ と書くことができます。
より、

整理すると、
ここで、とすれば、
(
逆は、いまの式変形を逆にたどることにより、@式のように書けるので、点P3ABCが位置する平面p上に存在します)

(2) (1)
の@式より、
よって、平面p上の点Pの位置ベクトルがみたす方程式として、

が得られます。

ここで、
のいずれにも垂直なベクトルを(これを平面pの法線ベクトルと言います。法線ベクトルの見つけ方は外積を参照)として、これを両辺にかけると、

より、
 ・・・A
A式も平面を表す方程式です。
ここで、
として、とおくと、

 ・・・B
B式が座標空間における平面の方程式です。
平面の方程式の
xyzの係数をx成分、y成分、z成分とするベクトルが、この平面の法線ベクトルです。


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