y軸の回りの回転体

この項目は、不定積分の公式定積分と体積を参照してください。
曲線:と直線:,直線:
(とする),及びy軸で囲まれる図形をy軸の回りに1回転させてできる回転体の体積Vは、

y軸に垂直な平面:で切ったときの断面は、の逆関数を利用して書くと、半径の円なので、
断面積:
よって、回転体の体積Vは、

1. 曲線:と直線,直線で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求める。
[解答] まず、曲線の方程式をxについて解く必要があります。

 ・・・@
 
(分母を有理化した)
 ・・・A
@+Aより、

 (合成関数の微分法を参照)

より、は単調増加です。
従って、求める回転体の体積
Vは、



......[]

1.のように、逆関数を求ることのできる関数の場合には、y軸のまわりの回転体は上記の公式で計算できるのですが、逆関数を求めることができない場合には、別の方法を考えます。
の逆関数が求められないか、非常に積分しづらい形になるとします。
曲線:と、直線,直線で囲まれた図形を
y軸のまわりに1回転させたときの体積Vは、
ですが、xyで表せないか、表せても積分しづらいときは、以下のように、とおいて、置換積分します。
より、
yのとき、xとすれば()
この形のまま計算できてしまうものは、積分計算を実行します。
ですが、この形でも、積分の計算がやりにくい場合には、
部分積分して、を微分、を積分に回して、
は、底円の半径がb,高さがの円柱の体積です。
は、底円の半径が
a,高さがの円柱の体積です。
は、底円の半径
x (底円の円周の長さは),高さyの円筒を開いて長方形にしたときの長方形の面積:x方向に積分したもので、曲線:と直線,直線x軸で囲まれる部分(右図で黄色に塗られた部分)y軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を表しています。の体積の考え方は、回転体を円筒に分割して体積を計算するという意味で、円筒分割と呼ばれています。
結局
y軸のまわりの回転体の体積は、になっています。
以下に、円筒分割でうまく、
y軸のまわりの回転体の体積が計算できる例を2つ書いておきます。

2. の部分とx軸で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求める。
[解答] 求める体積をVとすると、上の円筒分割の考え方により、

......[]

3. 曲線:の部分,y軸,で囲まれる図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求める。
[解答] 求める体積をVとします。
曲線の式を
xについて解こうとしても、では大変なことになります。
よりとなるので、置換積分も厳しそうです。そこで、円筒分割を考えます。
求める体積
Vは、のときのときなので、底円の半径1,高さ1の円柱の体積から、曲線:x軸、直線で囲まれる部分をy軸の回りに1回転してできる回転体の体積を引いたものになります。


とおくと、,微分してより、xのとき、t

......[]


TOPに戻る   CFV21 メイン・ページ   考察のぺージ

(C)2005, 2006,2007, 2008 (有)りるらるNewton e-Learning
 雑誌「大学への数学」購入
inserted by FC2 system