早稲田大学理工学部2005年数学入試問題

[1] 4OABCを頂点とする四面体を考える。ただし、とする。以下の問に答えよ。
(1) の面積を求めよ。
(2) の内接円の中心の座標を求めよ。
(3) 四面体OABCの各面に接する球の中心の座標を求めよ。
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[2] 円周上にm個の点,・・・,がこの順に配置され、各点に一つの実数が与えられている()。ただし、とする。さらに、は条件
() 各点の値は、隣接する2点の値の和に等しい
を満たす。このとき、以下の問に答えよ。
(1) のとき、の値を求めよ。
(2) とおくとき、abで表せ。ただし、とする。
(3) 条件()をみたし、かつとなるが存在するのはmがどのような自然数のときか。mが満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。
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[3] 袋の中に1からnまでの番号のついたn個の玉が入っている。この袋から玉を1個取り出し、番号を調べてもとに戻すことをr回行うとき、取り出された玉の番号の最大値をXとする。以下の問に答えよ。
(1) に対して、Xがちょうどkとなる確率を求めよ。
(2) のとき、Xの期待値を求めよ。
(3) 一般のrに対してXの期待値をとおくとき、極限値を求めよ。
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[4] 複素数zを満たしながら動くとき、次の式で定まるwについて以下の問に答えよ。
(1) wの虚部の取る値の範囲を求めよ。
(2) wが複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。(複素数平面上の長さは座標平面上の長さと同じとする。)
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[5] 媒介変数tにより
と表されるxy平面上の曲線Cについて以下の問に答えよ。
(1) 曲線Cと座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2) 曲線Cx軸,y軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)で求めた体積をVとするとき、Vを小さい順に並べよ。ただし、およびは既知とする。
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