早稲田大学理工学部
2005
年数学入試問題
[1]
4
点
O
,
A
,
B
,
C
を頂点とする四面体を考える。ただし、
とする。以下の問に答えよ。
(1)
の面積を求めよ。
(2)
の内接円の中心の座標を求めよ。
(3)
四面体
OABC
の各面に接する球の中心の座標を求めよ。
[
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]
[2]
円周上に
m
個の点
,
,・・・,
がこの順に配置され、各点
に一つの実数
が与えられている
(
)
。ただし、
とする。さらに、
は条件
(
*
)
各点の値は、隣接する
2
点の値の和に等しい
を満たす。このとき、以下の問に答えよ。
(1)
のとき、
の値を求めよ。
(2)
,
とおくとき、
を
a
,
b
で表せ。ただし、
とする。
(3)
条件
(
*
)
をみたし、かつ
となる
が存在するのは
m
がどのような自然数のときか。
m
が満たすべき必要十分条件を求め、その理由を簡単に述べよ。
[
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]
[3]
袋の中に
1
から
n
までの番号のついた
n
個の玉が入っている。この袋から玉を
1
個取り出し、番号を調べてもとに戻すことを
r
回行うとき、取り出された玉の番号の最大値を
X
とする。以下の問に答えよ。
(1)
に対して、
X
がちょうど
k
となる確率を求めよ。
(2)
のとき、
X
の期待値を求めよ。
(3)
一般の
r
に対して
X
の期待値を
とおくとき、極限値
を求めよ。
[
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]
[4]
複素数
z
が
を満たしながら動くとき、次の式で定まる
w
について以下の問に答えよ。
(1)
w
の虚部の取る値の範囲を求めよ。
(2)
w
が複素数平面上に描く曲線の長さを求めよ。
(
複素数平面上の長さは座標平面上の長さと同じとする。
)
[
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]
[5]
媒介変数
t
により
と表される
xy
平面上の曲線
C
について以下の問に答えよ。
(1)
曲線
C
と座標軸が接する点の座標を求めよ。
(2)
曲線
C
と
x
軸,
y
軸で囲まれた部分を
x
軸のまわりに
1
回転させてできる立体の体積を求めよ。
(3) (2)
で求めた体積を
V
とするとき、
V
,
,
を小さい順に並べよ。ただし、
および
は既知とする。
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