早稲田大学理工学部2006年数学入試問題

[1]  に対して、関数
によって定める。以下の問に答えよ。
(1) にたいして
を示せ。
(2) とする。に対して、不等式
を示せ。
(3) を求めよ。
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[2]  に対してxの整式
を考える。以下の問に答えよ。
(1) 3次方程式の正の実数解はただ1つであることを示せ。
(2) tの解であるとき、を求めよ。
(3) の正の実数解をとするとき、の最小の実数解で表せ。さらに、を求めよ。
[解答へ]


[3] 数列,・・・ は条件
を満たすとする。以下の問に答えよ。
(1) 数列,・・・ を次の式で定める。
がすべて正ならばが成り立つことを示せ。
(2) を満たすnがあることを示せ。
[解答へ]


[4] xy平面において原点Oから出発する動点Pが確率p ()x軸の正方向との角度をなす方向に、確率x軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もOからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をAとする。さらに動点Pについて以下の2通りの移動()()を考える。
() 動点Pが点Aから出発し確率px軸の正方向との角度をなす方向に、確率x軸の正方向との角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をBとする。
() 動点Pが点Aから出発し確率pの角度をなす方向に、確率の角度をなす方向に進み、どちらの場合もAからの距離が1である点に到達するものとする。この到達点をCとする。
以下の問に答えよ。
(1) 線分OBの長さの2乗の期待値を求めよ。
(2) 線分OCの長さの2乗の期待値を求めよ。
(3) の最大値を求めよ。
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[5] 動点Px軸のの部分、動点Qy軸のの部分をを満たしながら動く。このとき線分PQが動いてできる領域をFとする。またOは原点とし、aとする。
を満たすsを固定したとき、点Fに属するようなyの最大値をtとし、線分PQが点を通るときのaの値をq とする。以下の問に答えよ。
(1) が成り立つsの範囲を求めよ。
(2) s(1)で求めた範囲に属さないときstq で表せ。
(3) Fの面積を求めよ。
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