早大理工数学'07[3]検討

[3](解答はこちら) は、摩擦や抵抗によってだんだん振幅が小さくなる振動(減衰振動と言います)を表しています。は、 (n:整数)x軸と交わりますが、隣接する交点の間の曲線とx軸とで囲まれる部分の面積は、等比数列をなします。
本問では、
x軸ではなく、で囲まれる部分(nを整数として、の部分)の面積を考えていますが、数列は、やはり、等比数列をなします。
面積計算に出てくる、
という形の積分は、普通は、部分積分を2回行って計算しますが、を積分しを微分、あるいは、を微分しを積分、いずれにしても、途中にマイナスがゴロゴロ出てきて計算ミスをし易いのです。私の経験から言っても、平均的な高校生では、この積分計算の途中必ずどこかでミスします。
早稲田の先生は、ほとんど正解者がいない事態を憂えたのだ思いますが、
(1)のヒントをつけました。部分積分を2回やるよりも、微分した方が計算ミスのリスクは遙かに減ります。指数関数×三角関数の積分は頻出なので、この計算法は覚えておく方がトクです。


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