早大理工数学'08[1]検討

[1](解答はこちら)  曲線は軸が傾いた放物線です。回転して考えれば簡単になることはわかるのですが、回転変換もなかなか面倒です。私は、この問題を回転の行列を使って解くくらいなら、現行課程では高校の範囲外ですが、複素数による回転を覚えた方が良い(物理でも交流のインピーダンス計算で使えるので)ように思います(別解につけました)
回転しないで解くのであれば、
(1)は普通に面積計算を行えますが、(2)の体積は少々工夫が必要です。解答では、通常のx軸のまわりの回転体の体積計算と同様に、円の面積を回転軸u軸に沿って積分するという方法でやりました(他の解法もあります)。この解法が、斜回転体の体積を求める方法としては最も取っつき易い方法だと思います。実際に入試会場で使えるようにするのには、かなり練習が必要なので、受験生必須の技巧とは言えないかも知れません。
断面円の面積を
u軸に沿って積分するところをx軸に沿って積分しないように注意してください。解答ではu軸に沿う積分を置換積分を行うことによって、x座標tに関する積分に直していますが、となっていて、がつきます。utとでは変化の仕方が違います。

斜回転体の問題を
1題紹介しておきます。早大理工'08[1]と同様にやればできます。
東京理科大理工
'91[3]
曲線C ()と直線lとで囲まれた図形を直線lのまわりに1回転してできる立体の体積をとする。ただし、とする。
(1) を求めよ。
(2) C上の点Pからlに下ろした垂線の足をHとするとき、線分PHおよび線分OHの長さをxmで表せ。またxが増加するとき、線分OHの長さは単調に増加することを示せ。
(3) の値を求めよ。
(4) のとき、mによらず一定であることを証明せよ。
[](1)  (2)  (単調増加はxで微分してみればよい) (3) 1 (4) (=一定)


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